真值函數

邏輯中,真值函數是從語言的句子生成的函數。它採用來自 {T,F} (就是真實和虛假)的真值。例如句子 A → B 生成真值函數 h(A,B),它的真值是 F,若且唯若 A 的值是 T 而 B 的值是 F。n 個變量的命題句子生成 2^{2^n} 個真值函數。比如,如果有像 A → (B → A) 這樣的 2 個變量的命題則有 16 個生成的真值函數。

陳述命題被稱為是真值泛函的,如果它的真值由它的部件的真值來決定。

比如,「在2004年4月20日保羅·馬丁是加拿大首相」是真的,「在2004年4月20日喬治·沃克·布希是美國總統」也是真的,所以合取:

  • 「在2004年4月20日保羅·馬丁是加拿大首相 喬治·沃克·布希是美國總統」

是真的。在這個句子中,「與」充當真值函數。

相反的,在「在2004年4月20日艾爾·高爾是美國總統」和「布蘭妮·斯皮爾斯相信在2004年4月20日艾爾·高爾是美國總統」。知道前者不是真的和後者的真值之間沒有關係:布蘭妮·斯皮爾斯相信艾爾·高爾是總統這個命題的真值,不是由艾爾·高爾在那天不是總統的事實來決定的。 所以,詞語「相信」不是真值函數。

用更加數學化的術語,真值函數是一種布爾函數,並使用布爾變量來持有真值函數的結果是計算機科學的普遍實踐。確定句子的真值是邏輯和數學二者的基本活動;作為結果,真值函數在與邏輯和數學基礎有關的著作中經常討論。

簡單真值函數如 AND、NOT 等可以用真值表確定。更複雜的真值函數可能需要重要的計算。

歷史

Alonzo Church 1944年. Introduction to Mathematical Logic. ISBN 0-691-02906-7 The history of the usage of truth function is covered, among other terms, in the Introduction chapter.

參見

參考資料