譜 (泛函分析)

在數學中，特別是在泛函分析中，有界算子的譜是矩陣的特徵值集合的推廣。具體來說，對於有界線性算子T，如果T-λI不可逆，其中I是恆等算子，則複數λ會被認為屬於T的譜中。譜和相關性質的研究被稱為譜理論，其具有許多應用，最值得注意的是量子力學的數學表述。

有限維向量空間上的算子的譜就是特徵值的集合。然而，無限維空間上的算子在譜中可能有其他元素，並且可能沒有特徵值。例如，考慮希爾伯特空間 ℓ²上的右移算子R，

(x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )

。

該算子沒有特徵值，因為如果Rx=λx，則通過展開表達式可以得到x₁=0，x₂=0……另一方面，0在譜中，因為算子R-0（即R自身）不可逆：因為第一項非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是滿射。事實上，複巴拿赫空間上的每個有界線性算子都必有非空譜。

譜的概念可以擴展到稠定無界算子。在這種情況下，複數λ被認為是在算子T:D→X（其中D在X中稠密）的譜中，如果沒有有界逆(λI-T)⁻¹:X→D。如果T是閉算子（包括T是有界算子的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。

巴拿赫空間X上的有界線性算子B(X)是有單位的巴拿赫代數的一個例子。由於除了任何這樣的代數都具有的性質之外，譜的定義沒有涉及B(X)的任何性質，所以譜的概念可以在此逐字地使用相同的定義推廣。

有界算子的譜

定義

作用在巴拿赫空間 $X$ 上的 $T$ 是純量域 $\mathbb {K}$ 上的有界線性算子，且 $I$ 是 $X$ 上的恆等算子。 $T$ 的譜是所有使得算子 $\lambda I-T$ 沒有有界線性逆的 $\lambda \in \mathbb {K}$ 的集合。

由於 $\lambda I-T$ 是一個線性算子，所以如果它的逆存在，則一定是線性的；並且，通過有界逆定理可知，它的逆是有界的。因此，譜正好由那些使得 $\lambda I-T$ 不是雙射的純量 $\lambda$ 組成。

給定算子 $T$ 的譜通常記為 $\sigma (T)$ ，而它的補集，也即預解集，記為 $\rho (T)=\mathbb {K} \setminus \sigma (T)$ 。

譜和特徵值

如果 $\lambda$ 是 $T$ 的特徵值，則算子 $T-\lambda I$ 不是一一映射，因此其逆 $(T-\lambda I)^{-1}$ 沒有定義。但否命題是不對的：即使 $\lambda$ 不是特徵值,算子 $T-\lambda I$ 可能也沒有逆。因此，算子的譜總是包含其所有特徵值，但卻不限於此。

例如考慮希爾伯特空間 $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ ，它由所有雙向無限實數序列

v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )

構成，這些序列須滿足平方和 $\sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}$ 有限。雙向移位算子 $T$ 簡單地將序列的每個元素移動一個位置；即如果 $u=T(v)$ 則對所有整數 $i$ 有 $u_{i}=v_{i-1}$ 。特徵值方程 $T(v)=\lambda v$ 在該空間中無解，因為如果有解則意味著所有 $v_{i}$ 擁有相同的絕對值（如果 $\lambda =1$ ）或者是等比數列（如果 $\lambda \neq 1$ ）；無論哪種情形，它們的平方和都不可能有限。然而，算子 $T-\lambda I$ 在 $|\lambda |=1$ 時不可逆。例如滿足 $u_{i}=1/(|i|+1)$ 的序列 $u$ 屬於 $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ ；但是不存在 $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ 中的序列 $v$ 使得 $(T-I)v=u$ （即對所有 $i$ 有 $v_{i-1}=u_{i}+v_{i}$ ）。

基本性質

有界算子T的譜總是複平面的非空閉有界子集。

如果譜是空的，那麼預解函數

R(\lambda )=(\lambda I-T)^{-1}

，

在複雜平面上處處有定義且有界。但可以證明，預解函數R在其定義域是全純的。通過向量值情形的劉維爾定理可知這個函數是常數。因為它在無窮遠處為零，所以恆為零。產生矛盾。

譜的有界性由關於λ的諾伊曼級數展開得出；頻譜σ(T)有界||T||。類似的，可以證出譜是閉集。

譜的界||T||可以稍作改進。T的譜半徑r(T)是複平面上最小的包含譜σ(T)以原點為圓心的圓的半徑，即

r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}

。

譜半徑公式指出，^[1]對於巴拿赫代數的任何元素T有

r(T)=\lim _{n\to \infty }\|T^{n}\|^{1/n}

。

算子譜點分類

巴拿赫空間上的有界算子T可逆（即有有界逆），若且唯若T有正下界且值域稠密。因此，T的譜可以分為以下部分：

如果λI-T沒有正下界，則λ∈σ(T)。特别地，这包含λI-T不是單射即λ是特徵值的情形。特徵值集合被稱為T的點譜，記為σ_p(T)。另一情形，λI-T是一一映射但沒有正下界。这样的λ不是特徵值，而是T的近似特徵值（特徵值本身也是近似特徵值）。近似特徵值集合（包含點譜）被稱為T的近似點譜，記為σ_ap(T)。
如果λI-T值域不稠密，則λ∈σ(T)。这样的λ的集合被稱為壓縮譜，記為σ_cp(T)。它的子集，使得λI-T值域不稠密但是單射的λ的集合，被稱為T的剩餘譜，記為σ_r(T)。

注意到近似點譜和剩餘譜不一定不相交（但點譜和剩餘譜不相交）。

以下小節提供了關於上述σ(T)分類的更多細節。

點譜

如果一個算子不是單射（因此有某個非零的x滿足T(x)=0），那它顯然是不可逆的。因此，如果λ是T的特徵值，則必有λ∈σ(T)。T的特徵值集合被稱為T的點譜，記為σ_p(T)。

近似點譜

更一般地，T如果沒有正下界，則不可逆；也就是說，不存在c>0滿足||Tx||≥c||x||對所有 x ∈ X 。因此，譜包括近似特徵值集合，即使得 T -λI 沒有正下界的λ；等價地，它是滿足如下條件的λ的集合，存在單位向量x₁, x₂, ...使得

\lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0

。

近似特徵值集合被稱為近似點譜，記為σ_ap(T)。

容易看出特徵值屬於近似點譜。

例子考慮l²(Z)上雙向移位算子T定義如下

T(\cdots ,a_{-1},{\hat {a}}_{0},a_{1},\cdots )=(\cdots ,{\hat {a}}_{-1},a_{0},a_{1},\cdots )

其中ˆ表示第零個位置。直接計算可知T沒有特徵值，但滿足|λ|=1的每個λ都是近似特徵值；令x_n表示向量

{\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )

則對所有n有||x_n||=1，但

\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0

。

由於T是酉算子，所以它的譜位於單位圓上。因此T的近似點譜是其整個譜。這對於更一般的一類算子也是正確的。

酉算子是正規的。由譜定理可知，希爾伯特空間H上的有界算子是正規的，若且唯若其等價於（將H等價為L^2空間）乘法算子。可以證出，有界乘法算子的譜與它的近似點譜相等。

剩餘譜

算子可以是單射甚至有正下界，但不可逆。l ²(N)上的單向移位算子就是一例。這個移位算子是一個等距同構，因此下界為1。但是它不可逆，因為它不是滿射。滿足λI-T是單射但值域不稠密的λ的集合被稱為剩餘譜，記為σ_r(T)。

連續譜

滿足λI-T是單射且值域稠密但不是滿射的λ的集合，被稱為T的連續譜，記為σ_c(T)。因此，連續譜由那些不是特徵值且不在剩餘譜中的近似特徵值構成。即

\sigma _{c}(T)=\sigma _{ap}(T)\setminus (\sigma _{r}(T)\cup \sigma _{p}(T))

。

邊緣譜

算子的邊緣譜是其譜中模等於其譜半徑的點的集合。

例子

氫原子提供了這種分解的例子。氫原子的哈密頓算子的特徵函數被稱為本徵態，並被分為兩類。氫原子的束縛態對應於譜的離散部分（它們具有離散的特徵值集合，可由里德伯公式計算得到），而電離過程的最終結果由連續部分描述（碰撞/電離的能量不是「量子化的」）。

進一步結果

如果T是一個緊算子，則可以證明譜中任意非零λ是特徵值。換句話說，這種算子的譜，被定義為特徵值概念的推廣，在這種情形下僅包括通常的特徵值和0（可能有）。

如果X是希爾伯特空間且T是正規算子，則有被稱為譜定理的顯著結果，給出了正規有限維算子的對角化定理的類比（例如埃爾米特矩陣）。

無界算子的譜

可以推廣譜的定義用於巴拿赫空間X上的無界算子，這些算子不再是巴拿赫代數B(X)中的元素。推廣類似於有界情形。複數λ被稱為在預解集中，即線性算子T

T:D\subset X\to X

的譜的補集，如果算子

T-\lambda I:D\to X

有有界逆，即如果存在有界算子

S:X\rightarrow D

使得

S(T-I\lambda )=I_{D},\,(T-I\lambda )S=I_{X}

。

如果該性質不滿足，則複數λ在譜中。可以以與有界情形完全相同的方式來對譜進行分類。

無界算子的譜通常是複平面的閉子集，可能為空集。

對於預解集中的λ（即不在譜中），與有界情形相同，λI-T 必須是雙射，因為它必須有雙邊逆。如前所述，如果逆存在，則其線性直接可得，但一般來說，它可能無界，因此必須單獨檢驗該條件。

然而如果引入了T是閉算子的附加假設，由閉圖像定理可知，逆的有界性可由其存在性直接得到。因此，與有界情情形相同，複數λ位於閉算子T的譜中，若且唯若λI-T不是雙射。注意到閉算子包括所有有界算子。

通過其譜測度，可以定義任何自伴算子的譜分解，有界或其他類型分解為絕對連續、純點和奇異部分。

有單位的巴拿赫代數的譜

令B為包含單位e的復巴拿赫代數。我們定義B的元素x的譜σ(x)（或更明確地σ_B(x)）為使λe-x在B中不可逆的那些複數λ的集合。這推廣了巴拿赫空間X上有界線性算子B(X)的譜的定義，因為B(X)是一個巴拿赫代數。

參見

參考文獻

^ Theorem 3.3.3 of Kadison & Ringrose, 1983, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol.

Dales et al., Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, ISBN 0-521-53584-0
Hazewinkel, Michiel (編), Spectrum of an operator, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] Theorem 3.3.3 of Kadison & Ringrose, 1983, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol.

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