除法

運算

數學中,尤其是在基本計算裏,除法(英語:division)可以看成是「乘法的反運算」,也可以理解為「重複的減法」。除法運算的本質就是「把參與運算的除數變為,得出同比的被除數的值」。

將20個蘋果平均分成四等分(左上),每份有5個蘋果(右下),即;亦可以說成,將20個蘋果每5個分成一份(右下),共可分成四等分(左上),此時可以表達為

例如:,就好像減了兩次後,就變成了

如果

而且不等於,那麼

其中,a稱為商數,b稱為除數,c稱為被除數

如果除式的商數()必須是整數,則稱為帶餘除法相差的數值,稱為餘數)。

這也意味著

高等數學(包括在科學工程學中)和計算機程式語言中,寫成。如果我們不需要知道確切值或者留待以後引用,這種形式也常常是稱之為分數的最終形式。其中尋找商數的函數,尋找餘數的函數則為

在大部分的非英語語言中,代表,讀做c比b;則代表比值。用法請參照比例

整除

整除數學中兩個自然數之間的一種關係。自然數 可以被自然數 整除,是指  因數,且a是b的整數倍數,也就是 除以 沒有餘數

 

因數判別法可參照整除規則

表示法

 表示 整除 ,即  的倍數,  因數

舉例

 可以被 整除,記作 

 不能被 整除(因為餘數為 ),記作 。在 上加一條斜線即表示不整除。

除法計算

根據乘法表,兩個整數可以用長除法(直式除法)筆算。如果被除數有分數部分(或者說時小數點),計算時將小數點帶下來就可以;如果除數有小數點,將除數與被除數的小數點同時移位,直到除數沒有小數點。

算盤也可以做除法運算。

長除法

長除法俗稱「長除」,適用於正式除法、小數除法、多項式除法(即因式分解)等較重視計算過程和商數的除法,過程中兼用了乘法減法

使用長除法計算 的過程可以表示為:

 
 的演算過程
 

短除法

短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏,被除數放中央,旁以一L型符號表示除法,被除數左側為除數,下側為商,省去了長除法逐層計算的過程。

  • 使用短除法計算 的近似值:
 
 
 
 
 

多項式的除法

整數之間的帶餘除法類似,一元多項式之間也可以進行帶餘除法。可以證明,設有多項式 和非零多項式 ,則存在唯一的多項式  ,滿足:

 

而多項式 若非零多項式,則其冪次嚴格小於 的冪次。

作為特例,如果要計算某個多項式 除以一次多項式 得到的餘多項式,可以直接將 代入到多項式 中。 除以 的餘多項式是 

具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如,計算 除以 ,列式如下:

 

因此,商式是 ,餘式是 

重要性質

通常不定義除以零這種形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時,該式或該數無意義

參見