李代數 是一个在域 F 上的向量空間
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
二元運算
[
⋅
,
⋅
]
:
g
×
g
→
g
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
李括號 ）：
∀
a
,
b
∈
F
,
∀
x
,
y
,
z
∈
g
{\displaystyle \forall a,b\in F,\,\forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
[
a
x
+
b
y
,
z
]
=
a
[
x
,
z
]
+
b
[
y
,
z
]
,
[
z
,
a
x
+
b
y
]
=
a
[
z
,
x
]
+
b
[
z
,
y
]
{\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}
∀
x
∈
g
{\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {g}}}
[
x
,
x
]
=
0
{\displaystyle [x,x]=0}
x
,
y
,
z
∈
g
{\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
[
x
,
[
y
,
z
]
]
+
[
y
,
[
z
,
x
]
]
+
[
z
,
[
x
,
y
]
]
=
0
{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}
用双线性来展开李括号
[
x
+
y
,
x
+
y
]
{\displaystyle [x+y,x+y]}
x , y 属于
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
[
x
,
y
]
+
[
y
,
x
]
=
0
{\displaystyle [x,y]+[y,x]=0\ }
[
x
,
y
]
=
−
[
y
,
x
]
,
(
∀
x
,
y
∈
g
)
{\displaystyle [x,y]=-[y,x],(\forall x,y\in {\mathfrak {g}})}
(
[
x
−
y
,
x
]
=
−
[
y
,
x
]
=
[
x
−
y
,
x
−
y
+
y
]
=
[
x
−
y
,
y
]
=
[
x
,
y
]
)
{\displaystyle ([x-y,x]=-[y,x]=[x-y,x-y+y]=[x-y,y]=[x,y])}
反过来说，当F 的特徵 不是 2时，反交换律也蕴含交错性（不过，当特征为2时，对于任何
x
∈
g
,
2
x
{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},2x}
[
x
,
x
]
=
−
[
x
,
x
]
{\displaystyle [x,x]=-[x,x]}
[
x
,
x
]
=
0
{\displaystyle [x,x]=0}
用李括號 表達的乘法不一定符合結合律 。即
[
[
x
,
y
]
,
z
]
{\displaystyle [[x,y],z]}
[
x
,
[
y
,
z
]
]
{\displaystyle [x,[y,z]]}
環 或結合代數。
若某個李代數的元素
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
李代數的維度則是其作為
F
{\displaystyle F}
元素個數 ，總是小於等於其維度。
可見低維實李代數的分類
1. 如果我们定义李括号等于
0
{\displaystyle 0}
2. 如果选李括号为向量 的叉乘 ，欧几里得空间
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
3. 若一个结合代数
A
{\displaystyle A}
∗
{\displaystyle *}
[
x
,
y
]
=
x
∗
y
−
y
∗
x
{\displaystyle [x,y]=x*y-y*x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
泛包络代数 。
4. 另一个李代数的重要例子来自于微分几何 ：可微流形 上的光滑 向量场 在把李导数 作为李括号的时候成为一个无穷维李代数。李导数把向量场
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
X
(
f
)
{\displaystyle X(f)}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
方向导数 达成的。这样，在表达式
(
Y
X
)
(
f
)
{\displaystyle (YX)(f)}
Y
X
{\displaystyle YX}
复合 。然后，李括号
[
X
,
Y
]
{\displaystyle [X,Y]}
[
X
,
Y
]
f
=
(
X
Y
−
Y
X
)
f
{\displaystyle [X,Y]f=(XY-YX)f}
对于流形上的每个光滑函数
f
{\displaystyle f}
这是流形的微分同胚 集合构成的无穷维李群的李代数。
5. 李群 的左不变向量场组成的向量空间在李括号这个操作下是闭的，因而是一个有限维李代数。或者，可以把属于一个李群的李代数的向量空间看成是该群的幺元的切空间。乘法就是群在幺元的微分的换位子 ，
(
a
,
b
)
↦
a
b
a
−
1
b
−
1
{\displaystyle (a,b)\mapsto aba^{-1}b^{-1}}
6. 作为一个具体的例子，考虑李群
S
L
(
n
,
R
)
{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}
1
{\displaystyle 1}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
0
{\displaystyle 0}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
更多李群和它们相应的李代数，请参看李群 条目。
在同样基域
F
{\displaystyle F}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
同态
ϕ
:
g
→
h
{\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}
F
{\displaystyle F}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
[
ϕ
(
x
)
,
ϕ
(
y
)
]
=
ϕ
(
[
x
,
y
]
)
{\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=\phi ([x,y])}
F
{\displaystyle F}
态射 一起，组成了一个范畴 。如果一个同态是双射 ，它称为同构 ，而两个李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
同构 的。对于所有的应用目的，同构的李代数是相同的。
李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
子代数 是
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
线性子空间
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
[
x
,
y
]
∈
h
{\displaystyle [x,y]\in {\mathfrak {h}}}
x
,
y
∈
h
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {h}}}
李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
理想 是
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
[
a
,
y
]
∈
h
{\displaystyle [a,y]\in {\mathfrak {h}}}
a
∈
g
{\displaystyle a\in {\mathfrak {g}}}
y
∈
h
{\displaystyle y\in {\mathfrak {h}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
/
h
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
[
x
+
h
,
y
+
h
]
=
[
x
,
y
]
+
h
{\displaystyle [x+{\mathfrak {h}},y+{\mathfrak {h}}]=[x,y]+{\mathfrak {h}}}
x
,
y
∈
g
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
核 ，而同态基本定理 对于李代数是适用的。
实和复李代数可以分类到某种程度，而这个分类是李群分类的重要一步。每个有限维实或复李代数作为一个唯一的实或复单连通 李群的李代数出现（Ado定理），但是可能有一个以上的群，甚至一个以上的连通群，有这个相同的李代数。例如，群 SO(3)（行列式 值为1的 3×3 正交群）和SU(2) （行列式为1的 2×2 酉矩阵）有相同的李代数，就是 R 3 ，以叉乘为李括号。
李代数是“交换的”，如果李括号为0，也就是 [x , y ] = 0 对于所有 x 和 y 。更一般的，一个李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
低中心序列 （lower central series）
g
>
[
g
,
g
]
>
[
[
g
,
g
]
,
g
]
>
[
[
[
g
,
g
]
,
g
]
,
g
]
>
.
.
.
{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>...}
最终为 0。按照Engel定理 ，李代数零幂当且仅当对每个
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
u 映射
a
d
(
u
)
:
g
→
g
,
ad
(
u
)
v
=
[
u
,
v
]
{\displaystyle ad(u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}
是零幂的。更一般的，李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
可解 的若导序列 (derived series)
g
>
[
g
,
g
]
>
[
[
g
,
g
]
,
[
g
,
g
]
]
>
[
[
[
g
,
g
]
,
[
g
,
g
]
]
,
[
[
g
,
g
]
,
[
g
,
g
]
]
]
>
.
.
.
{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>...}
最终成为0。
极大可解子代数成为波莱尔子代数 。
李代数 g 称为半单 如果
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
基灵型 K (u ,v ) = tr(ad(u )ad(v )) 是非退化的；这里 tr 表示迹算子 。当域 F 的特征数为 0，
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
表示 都是完全可约的，也就是对于每个表示的不变子空间，有一个不变的补空间（外尔定理 Weyl's theorem）.
李代数是单 的，如果它没有非平凡理想并且非交换。特别的有，一个单李代数是半单的，更一般的，半单李代数是单李代数的直和。
半单复李代数可通过它们的根系 分类。
使用范畴论 的语言，李代数 可以定义为向量空间范畴 中的对象 A 和态射
[
⋅
,
⋅
]
:
A
⊗
A
→
A
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\to A}
[
⋅
,
⋅
]
∘
(
i
d
+
τ
A
,
A
)
=
0
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}
[
⋅
,
⋅
]
∘
(
[
⋅
,
⋅
]
⊗
i
d
)
∘
(
i
d
+
σ
+
σ
2
)
=
0
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}
其中
τ
(
a
⊗
b
)
:=
b
⊗
a
{\displaystyle \tau (a\otimes b):=b\otimes a}
(
i
d
⊗
τ
A
,
A
)
∘
(
τ
A
,
A
⊗
i
d
)
{\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes \mathrm {id} )}
循环枚举 。用交换图形式:
Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Jacobson, Nathan, Lie algebras , Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ce0ecebaaa6530dea73faf9e5831dacb050936)
![{\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730cd19026c1c8b8b3ac4e918cad74872c023d23)
![{\displaystyle [x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ccb967db9ab0773c5aa2e0fc234cd33373f193)
![{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23655a62f2a7cc545f121d9bcc30fe2c56731457)
![{\displaystyle [x+y,x+y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c0808f3e1cacefc5287673604694a416f91361)
![{\displaystyle [x,y]+[y,x]=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d2a80df91d0e16cfa14924cfc729627f3234af)
![{\displaystyle [x,y]=-[y,x],(\forall x,y\in {\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9282ff56bb944bf6643d942a1be7d9924ad48b23)
![{\displaystyle ([x-y,x]=-[y,x]=[x-y,x-y+y]=[x-y,y]=[x,y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d105d01fc5939bce1452c7967f5317c6fe004b)
![{\displaystyle [x,x]=-[x,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ffd2a515d3bfc2058a5d417ad498c144930e7a)
![{\displaystyle [[x,y],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1355c94372444268d5200cf3079e4b2e8c5510)
![{\displaystyle [x,[y,z]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c3a3b210ab676378107460425cdcd01b90d839)
![{\displaystyle [x,y]=x*y-y*x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa51a331f591e52a2c27021ad9c3fbb9feaddf3)
![{\displaystyle [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37)
![{\displaystyle [X,Y]f=(XY-YX)f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e80ae91299a95f9000dca4910e4f33d81e26f61)
![{\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=\phi ([x,y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802430c1c2098502e07838acff942ac4bd8c5b47)
![{\displaystyle [x,y]\in {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ecd5310eb1c63bfacb7675ee269804219f73cb)
![{\displaystyle [a,y]\in {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bca610c031fe459310b9cb30939db8e884c8c7)
![{\displaystyle [x+{\mathfrak {h}},y+{\mathfrak {h}}]=[x,y]+{\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d033b122628a9ab4d159ce6d67dacbbdee8c11)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de542611c1a573b032c6fbba4179c6e75173219)
![{\displaystyle ad(u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9f88ba12129736d3921f5af1ca5b5f9f8c6a00)
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb06584553617f25f23766b0586dcb95818df851)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b6080f1643aa2b6103d529f8479f9409a20d83)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0189f4a028d82f6e8e745879d213970770bcb00)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dc458c8f493e3af5dc04f5b7c6466196786091)
