紐結理論
数学的角度对纽结的研究
纽结理论 (英語:Knot theory) 是拓扑学的一个分支,研究纽结的拓扑学特性。
历史
结绳纪事由来远古,但从数学上研究纽结,始于德国数学家卡爾·弗里德里希·高斯,高斯研究电磁场的性质,认为与纽结有关。1867年开尔文勋爵认为原子是以太漩涡的纽结,可用不同种类的纽结将原子分类,并用来解释为何原子的吸收光谱呈现不连续的现象。
苏格兰理论物理学家彼德·G·泰特用多年时间研究出纽结分类表,相信他正在创造一个元素表。1887年迈克耳孙-莫雷实验证明“以太”不存在,“以太漩涡论”成为过时理论。十九世纪末叶,产生拓扑学,纽结论再次成为热点研究课题。今日纽结论的应用包括弦理論、DNA复制和统计力学等领域。
Reidemeister移動
1927年,J.W. 亞歷山大 和G.B. Briggs,以及 Kurt Reidemeister 獨立地提出了如何判定兩個結是相同的方法:如果由一個結可以透過幾種基本的動作變成另一個結,它們便是相等的。這些運算稱為Reidemeister移動。
高阶纽结图
一個 維球,只可以在 維空間扭成結,而且必定能在 維空間解結。(E.C. Zeeman)
纽结連通和
兩個結可以「相加」。考慮兩個結的平面投影,假設投影不相交。在平面找出一個長方形,使得每個結都有一條線在長方形內,結的邊靠近長方形的對邊,而且長方形其他部分沒有和結相交。將兩線剪開,上面的部分和上面的部分連起,下面的和下面的連起。這運算稱為連通和。
這個在結的運算,形成了一個交換的么半群,且有素分解:如果一個結K只可以寫作K+0=K或0+K=K,K便是素纽结。(0表示沒有扭過的結。)
陈-西蒙斯理论和纽结多项式
三维的陈-西蒙斯理论生成很多重要的纽结多项式和纽结不变量:[1]
陈西规范群G | 纽结多项式或不变量 |
---|---|
SO(N) | 考夫曼多項式 |
SU(N) | HOMFLY多項式 |
SU(2)或SO(3) | 鍾斯多項式(跟括號多項式有关) |
U(1) | 环绕数 |
参看
参考文献
- ^ Witten, Edward. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics. 1989-09, 121 (3): 351–399. ISSN 0010-3616. doi:10.1007/BF01217730 (英语).