貝西科維奇覆蓋定理

數學上，貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的維數。

定理敘述

若${\mathcal {F}}$是$\mathbb {R} ^{n}$中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即

$\sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty$

而A為當中的球的中心組成的集合。那麼${\mathcal {F}}$中存在子集${\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{N_{n}}$，每個${\mathcal {G}}_{i}$是可數多個互不相交的球的集合，而且

$A=\bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

其中$N_{n}$是一個僅依賴於n的常數。

證明大概

先假設A是有界集合。依次選取球$B_{i}$

1. 選擇$B(a_{1},r_{1})\in {\mathcal {F}}$為$B_{1}$，適合條件$r_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}$
2. 若已選取$B_{1},\cdots ,B_{j-1}$，$j\geq 2$。令$A_{j}:=A\setminus \cup _{i=1}^{j-1}B_{i}$。若$A_{j}=\varnothing$，就停止；若否，選擇$B(a_{j},r_{j})$為$B_{j}$，適合條件$r_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A_{j}\}$

球$B_{i}$有以下性質

1. 以$B_{i}$的選取方法可知，若j > i，則$r_{j}\leq {\frac {4}{3}}r_{i}$，$\left|a_{i}-a_{j}\right|>r_{i}$。
2. 將全部球$B_{i}$的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球$B(a_{i},r_{i}/3)$互不相交。
3. 若有可數無限多球$B_{i}$，因A有界，及縮小的球不交的性質，所以球$B_{i}$的半徑趨向0。
4. $A\subset \cup _{i}B_{i}$。若$B_{i}$數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有$a\in A\setminus \cup _{i}B_{i}$，那麼${\mathcal {F}}$中有球$B(a,r)$，而從上一性質知，對足夠大的j，有$r_{j}<(3/4)r$，與$B_{j}$的選取條件矛盾。

對k > 1，估算$B_{k}$和多少個之前選擇的球$B_{i}$相交。先將這樣的$B_{i}$按半徑$r_{i}$分成兩組：$r_{i}\leq 3r_{k}$為第一組，$r_{i}>3r_{k}$為第二組。

對第一組的球$B_{i}=B(a_{i},r_{i})$，將其縮小成$B(a_{i},r_{i}/3)$後包含在$B(a_{k},5r_{k})$中。$B(a_{i},r_{i}/3)$之間互不相交，故總體積不超過$B(a_{k},5r_{k})$的體積。又因$r_{i}\geq (3/4)r_{k}$，因此$B(a_{i},r_{i}/3)$相對$B(a_{k},5r_{k})$的比例有一個下限，而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。

對第二組的球，任取其中兩個球$B_{i}$,$B_{j}$。考慮以$a_{i}$,$a_{j}$,$a_{k}$作頂點的三角形。因$B_{i}$,$B_{j}$都和$B_{k}$相交，又$a_{k}$不在$B_{i}$,$B_{j}$之內，故有不等式

$r_{i}<\left|a_{i}-a_{k}\right|<r_{i}+r_{k}$

$r_{j}<\left|a_{j}-a_{k}\right|<r_{j}+r_{k}$

欲證出此三角形以$a_{k}$為頂點的角$\theta$，不小於一常數。可以假設$a_{i}a_{k}$邊長不大於$a_{j}a_{k}$邊長。如果$a_{i}$不在$B_{j}$內，則$a_{i}a_{j}$邊長大於$r_{j}$。若$a_{i}a_{j}$邊長不小於$a_{j}a_{k}$邊長，則$a_{i}a_{j}$為三角形中最長的邊，所以$\theta$不小於$\pi /3$。若$a_{i}a_{j}$邊長小於$a_{j}a_{k}$邊長，以平面幾何可證得這情形時$\theta$不小於arccos(5/6)。如果$a_{i}$在$B_{j}$內，必有i < j，故$r_{j}\leq (4/3)r_{i}$，且$a_{j}$不在$B_{i}$內，因此$a_{i}a_{j}$邊長大於$r_{i}$。可證得這情形時$\theta$不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出$\theta$的下限為arccos(61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和$a_{k}$之間連成直線，則任意兩條直線之間在$a_{k}$的夾角不小於arccos(61/64)。$a_{k}$為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數n的上限，這也就是第二組球的數目上限。

$B_{k}$和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為$M_{n}$。現在從$B_{1}$開始依次把球放到子集${\mathcal {G}}_{i}$內。輪到$B_{k}$時，因為之前的球中最多有$M_{n}-1$個和$B_{k}$相交，因此在$M_{n}$個子集${\mathcal {G}}_{i}$中，必定有至少一個所包含的球都不和$B_{k}$相交，於是可以把$B_{k}$加進這個子集。這樣就得出了子集${\mathcal {G}}_{i}$，滿足條件

$A\subset \bigcup _{i}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

對一般的A，設

$R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}$

對每個正整數l，設

$A_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}$

${\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A_{l}\}$

將以上結果用到$A_{l}$和${\mathcal {F}}^{l}$上，得到子集${\mathcal {G}}_{1}^{l},\cdots ,{\mathcal {G}}_{M_{n}}^{l}$，滿足條件

$A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}^{l}}B$

對$1\leq j\leq M_{n}$，設${\mathcal {G}}_{i}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l-1}$，${\mathcal {G}}_{i+M_{n}}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l}$，並設$N_{n}=2M_{n}$。那麼${\mathcal {G}}_{i}$的球互不相交，且有

$A=\bigcup _{l=1}^{\infty }A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

因此定理得證。

參見

• 維塔利覆蓋引理

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.