贝西科维奇覆盖定理

数学上，贝西科维奇(Besicovitch)覆盖定理是实分析的一条覆盖定理。欧氏空间的任何一个有半径上限的闭球族中，可以取出几个子集，子集的球互不相交，且覆盖原来闭球族中所有球的中心，而子集的数目上限只取决于空间的维数。

定理叙述

若${\mathcal {F}}$是$\mathbb {R} ^{n}$中的非退化（半径为正数）闭球族，当中的球的半径有有限上界，即

$\sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty$

而A为当中的球的中心组成的集合。那么${\mathcal {F}}$中存在子集${\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{N_{n}}$，每个${\mathcal {G}}_{i}$是可数多个互不相交的球的集合，而且

$A=\bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

其中$N_{n}$是一个仅依赖于n的常数。

证明大概

先假设A是有界集合。依次选取球$B_{i}$

1. 选择$B(a_{1},r_{1})\in {\mathcal {F}}$为$B_{1}$，适合条件$r_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}$
2. 若已选取$B_{1},\cdots ,B_{j-1}$，$j\geq 2$。令$A_{j}:=A\setminus \cup _{i=1}^{j-1}B_{i}$。若$A_{j}=\varnothing$，就停止；若否，选择$B(a_{j},r_{j})$为$B_{j}$，适合条件$r_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A_{j}\}$

球$B_{i}$有以下性质

1. 以$B_{i}$的选取方法可知，若j > i，则$r_{j}\leq {\frac {4}{3}}r_{i}$，$\left|a_{i}-a_{j}\right|>r_{i}$。
2. 将全部球$B_{i}$的半径缩至三分之一，从以上不等式，可证这些缩小的球$B(a_{i},r_{i}/3)$互不相交。
3. 若有可数无限多球$B_{i}$，因A有界，及缩小的球不交的性质，所以球$B_{i}$的半径趋向0。
4. $A\subset \cup _{i}B_{i}$。若$B_{i}$数目有限，则结果明显；若数目是无限多，假如有$a\in A\setminus \cup _{i}B_{i}$，那么${\mathcal {F}}$中有球$B(a,r)$，而从上一性质知，对足够大的j，有$r_{j}<(3/4)r$，与$B_{j}$的选取条件矛盾。

对k > 1，估算$B_{k}$和多少个之前选择的球$B_{i}$相交。先将这样的$B_{i}$按半径$r_{i}$分成两组：$r_{i}\leq 3r_{k}$为第一组，$r_{i}>3r_{k}$为第二组。

对第一组的球$B_{i}=B(a_{i},r_{i})$，将其缩小成$B(a_{i},r_{i}/3)$后包含在$B(a_{k},5r_{k})$中。$B(a_{i},r_{i}/3)$之间互不相交，故总体积不超过$B(a_{k},5r_{k})$的体积。又因$r_{i}\geq (3/4)r_{k}$，因此$B(a_{i},r_{i}/3)$相对$B(a_{k},5r_{k})$的比例有一个下限，而这下限仅由维数n决定。所以第一组的球的数目有一个仅依赖于n的上限。

对第二组的球，任取其中两个球$B_{i}$,$B_{j}$。考虑以$a_{i}$,$a_{j}$,$a_{k}$作顶点的三角形。因$B_{i}$,$B_{j}$都和$B_{k}$相交，又$a_{k}$不在$B_{i}$,$B_{j}$之内，故有不等式

$r_{i}<\left|a_{i}-a_{k}\right|<r_{i}+r_{k}$

$r_{j}<\left|a_{j}-a_{k}\right|<r_{j}+r_{k}$

欲证出此三角形以$a_{k}$为顶点的角$\theta$，不小于一常数。可以假设$a_{i}a_{k}$边长不大于$a_{j}a_{k}$边长。如果$a_{i}$不在$B_{j}$内，则$a_{i}a_{j}$边长大于$r_{j}$。若$a_{i}a_{j}$边长不小于$a_{j}a_{k}$边长，则$a_{i}a_{j}$为三角形中最长的边，所以$\theta$不小于$\pi /3$。若$a_{i}a_{j}$边长小于$a_{j}a_{k}$边长，以平面几何可证得这情形时$\theta$不小于arccos(5/6)。如果$a_{i}$在$B_{j}$内，必有i < j，故$r_{j}\leq (4/3)r_{i}$，且$a_{j}$不在$B_{i}$内，因此$a_{i}a_{j}$边长大于$r_{i}$。可证得这情形时$\theta$不小于arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出$\theta$的下限为arccos(61/64)。

因此将第二组各个的球的中心和$a_{k}$之间连成直线，则任意两条直线之间在$a_{k}$的夹角不小于arccos(61/64)。$a_{k}$为中心的单位球面上，这些直线中任何两条和球面的交点，其间的球面距离，等于直线间的夹角。直线间的夹角下限，就是交点间的球面距离下限。在单位球面上所能容纳的这样的点的数目，有一个只依赖维数n的上限，这也就是第二组球的数目上限。

$B_{k}$和之前的球相交的数目上限，是以上两组的上限的和，于是这个上限只依赖于维数n。这个上限加1设为$M_{n}$。现在从$B_{1}$开始依次把球放到子集${\mathcal {G}}_{i}$内。轮到$B_{k}$时，因为之前的球中最多有$M_{n}-1$个和$B_{k}$相交，因此在$M_{n}$个子集${\mathcal {G}}_{i}$中，必定有至少一个所包含的球都不和$B_{k}$相交，于是可以把$B_{k}$加进这个子集。这样就得出了子集${\mathcal {G}}_{i}$，满足条件

$A\subset \bigcup _{i}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

对一般的A，设

$R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}$

对每个正整数l，设

$A_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}$

${\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A_{l}\}$

将以上结果用到$A_{l}$和${\mathcal {F}}^{l}$上，得到子集${\mathcal {G}}_{1}^{l},\cdots ,{\mathcal {G}}_{M_{n}}^{l}$，满足条件

$A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}^{l}}B$

对$1\leq j\leq M_{n}$，设${\mathcal {G}}_{i}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l-1}$，${\mathcal {G}}_{i+M_{n}}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l}$，并设$N_{n}=2M_{n}$。那么${\mathcal {G}}_{i}$的球互不相交，且有

$A=\bigcup _{l=1}^{\infty }A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B$

因此定理得证。

参见

• 维塔利覆盖引理

参考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.