在概率论和统计学中,几何分布(英语:Geometric distribution)指的是以下两种离散型概率分布中的一种:
- 在伯努利试验中,得到一次成功所需要的试验次数。的值域是{ 1, 2, 3, ... }
几何分布
概率质量函数
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累积分布函数
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参数 |
成功概率(实) |
成功概率(实) |
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支撑集 |
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概率质量函数(pmf) |
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累积分布函数 (cdf) |
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期望 |
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中位数 |
(如果是整数,则中位数不唯一) |
(如果是整数,则中位数不唯一) |
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众数 |
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方差 |
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偏度 |
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超值峰度 |
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熵 |
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矩生成函数 (mgf) |
, for |
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特征函数 |
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- 在得到第一次成功之前所经历的失败次数。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }
实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。
这两种分布不应该混淆。前一种形式(的分布)经常被称作shifted geometric distribution;但是,为了避免歧义,最好明确地说明取值范围。
如果每次试验的成功概率是,那么次试验中,第次才得到成功的概率是,
其中.
上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式,也就是第一次成功之前所失败的次数,可以写为,
其中
两种情况产生的序列都是几何数列。这是几何分布的名字来源。
比如,假设不停地掷骰子,直到得到1。投掷次数是随机分布的,取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... },并且是一个的几何分布。
性质
呈几何分布的随机变量X的期望是1/p,方差是 (1-p)/p2:
-
几何分布具有非记忆性的性质(Memoryless Property,又称遗失记忆性)
这表示如果一个随机变量呈几何分布,它的条件概率遵循:
- s, t ∈ℕ.
记号
用途
在重复多次的伯努利试验中,试验进行到某种结果出现第一次为止,此时的试验总次数服从几何分布,如:射击,首次击中目标时的次数。
参见