在概率論和統計學中,幾何分佈(英語:Geometric distribution)指的是以下兩種離散型機率分布中的一種:
- 在伯努利試驗中,得到一次成功所需要的試驗次數。的值域是{ 1, 2, 3, ... }
幾何分佈
概率質量函數
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累積分佈函數
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參數 |
成功概率(實) |
成功概率(實) |
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支撐集 |
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概率質量函數(pmf) |
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累積分佈函數 (cdf) |
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期望值 |
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中位數 |
(如果是整數,則中位數不唯一) |
(如果是整數,則中位數不唯一) |
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眾數 |
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方差 |
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偏度 |
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超值峰度 |
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熵 |
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矩生成函數 (mgf) |
, for |
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特徵函數 |
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- 在得到第一次成功之前所經歷的失敗次數。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }
實際使用中指的是哪一個取決於慣例和使用方便。
這兩種分佈不應該混淆。前一種形式(的分佈)經常被稱作shifted geometric distribution;但是,為了避免歧義,最好明確地說明取值範圍。
如果每次試驗的成功概率是,那麼次試驗中,第次才得到成功的概率是,
其中.
上式描述的是取得一次成功所需要的試驗次數。而另一種形式,也就是第一次成功之前所失敗的次數,可以寫為,
其中
兩種情況產生的序列都是幾何數列。這是幾何分佈的名字來源。
比如,假設不停地擲骰子,直到得到1。投擲次數是隨機分佈的,取值範圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... },並且是一個的幾何分佈。
性質
呈幾何分佈的隨機變量X的期望值是1/p,方差是 (1-p)/p2:
-
幾何分佈具有非記憶性的性質(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)
這表示如果一個隨機變量呈幾何分佈,它的條件概率遵循:
- s, t ∈ℕ.
記號
用途
在重複多次的伯努利試驗中,試驗進行到某種結果出現第一次為止,此時的試驗總次數服從幾何分佈,如:射擊,首次擊中目標時的次數。
參見