幾何分布

機率分布

機率論統計學中,幾何分布(英語:Geometric distribution)指的是以下兩種離散型機率分布中的一種:

  • 伯努利試驗中,得到一次成功所需要的試驗次數的值域是{ 1, 2, 3, ... }
幾何分布
機率質量函數
累積分布函數
母數 成功機率( 成功機率(
支撐集
機率質量函數(pmf)
累積分布函數 (cdf)
期望值
中位數 (如果是整數,則中位數不唯一) (如果是整數,則中位數不唯一)
眾數
變異數
偏度
超值峰度
動差生成函數 (mgf) ,
for
特徵函數
  • 在得到第一次成功之前所經歷的失敗次數Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

實際使用中指的是哪一個取決於慣例和使用方便。

這兩種分布不應該混淆。前一種形式(的分布)經常被稱作shifted geometric distribution;但是,為了避免歧義,最好明確地說明取值範圍。

如果每次試驗的成功機率是,那麼次試驗中,第次才得到成功的機率是,

其中.

上式描述的是取得一次成功所需要的試驗次數。而另一種形式,也就是第一次成功之前所失敗的次數,可以寫為,

其中

兩種情況產生的序列都是幾何數列。這是幾何分布的名字來源。

比如,假設不停地擲骰子,直到得到1。投擲次數是隨機分布的,取值範圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... },並且是一個的幾何分布。

性質

呈幾何分布的隨機變數X期望值是1/p變異數是 (1-p)/p2:

 

幾何分布具有非記憶性的性質(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)

這表示如果一個隨機變數呈幾何分布,它的條件機率遵循:

 s, t ∈ℕ.

記號

若隨機變數 服從母數為 的幾何分布,則記為 .

用途

在重複多次的伯努利試驗中,試驗進行到某種結果出現第一次為止,此時的試驗總次數服從幾何分布,如:射擊,首次擊中目標時的次數。

參見