鸡爪定理

三角形內心、旁心、頂點的位置關係

欧氏几何中,鸡爪定理[1](或内心/旁心引理,英语:incenter/excenter lemma)描述三角形顶点内心旁心外接圆的位置关系。其断言,三角形某顶点所对的旁心、另两个顶点、内心四点共圆,且其圆心中点)位于三角形的外接圆上。此定理的构形常于奥数几何题出现。[2]

叙述

 
鸡爪定理:三条红色线段等长

 任意三角形 为其内心 角平分线 外接圆  。定理断言,  三点等远,即 

等价的说法有:

  •  三点的圆,圆心位于 。这尤其说明该圆的圆心在于原三角形的外接圆上。[3][4]
  • 诸三角形 皆为等腰 为其顶角。

还有第四点 也到 等远,就是 所对的旁心。在以 为圆心的圆上,  互为对径点,即  中点[5][6]

证明

由于同弧所对的圆周角相等,有

 

 为角 的平分线,有

 

 得证(等圆周角对等)。

最后计角有:

 

所以三角形 有两底角相等,证毕 

应用于求作三角形

定理适用于解决以下问题:已知某三角形的一个顶点 内心 外心 ,求作该三角形。作法如下:

  1.  为圆心, 为半径,作圆。此为三角形的外接圆。
  2. 作直线 ,与外接圆交于( 以外的另一点) 
  3.  为圆心, 为半径作圆,定理保证所得的圆过另两个顶点 
  4. 所以,该圆与外接圆的交点 即为所求。[7]

然而,并非在平面上任意取三点作为 皆有对应的三角形。若以上作法不能给出三角形,则问题可能出在  相切,也可能在于最后两圆相切外离。而且,若 三点无任何限制,则即使作法确实给出三角形, 亦不必为其内心,可能是旁心。该些情况下,不存在三角形以 为顶点, 为内心、 为外心。(对于固定的 两点,若要存在此种三角形,则 必须位于以 为尖点关于 作成的心脏线围成的区域中。)[8]

其他构作三角形的问题,如给定顶点、内心、九点圆心,求作三角形,有部分情况可化归为前述问题解决,但一般而言无法尺规作出[8]

命名

本定理有许多不同的名称。“鸡爪定理”得名自 诸线段组成的几何图形。同样,俄文称为лемма о трезубце[9][5],谓三叉引理,或теорема трилистника[10],谓三叶草定理。英文又称theorem of trillium延龄草定理”,亦是以某种三叶植物命名。

定理亦有其他名称并非来自该形状,如“内心/旁心引理”(the incenter/excenter lemma)。[2]

参考文献

  1. ^ 金磊. 鸡爪定理. 《数学中的小问题大定理》丛书(第六辑). 哈尔滨工业大学出版社. 2020. ISBN 9787560384245. 
  2. ^ 2.0 2.1 Evan Chen. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads [奥数欧氏几何]. Mathematical Association of America. 2016: 9–10 [2021-12-12]. ISBN 9780883858394. (原始内容存档于2021-12-15) (英语). This configuration shows up very often in olympiad geometry, so recognize it when it appears! 
  3. ^ Morris, Richard, Circles through notable points of the triangle [过三角形特殊点的圆], The Mathematics Teacher英语The Mathematics Teacher, 1928, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 (英语) . 尤其见p. 65处关于诸圆 及圆心的讨论。
  4. ^ Bogomolny, Alexander英语Alexander Bogomolny, A Property of Circle Through the Incenter [过内心的圆之某性质], Cut-the-Knot, [2016-01-26], (原始内容存档于2021-12-12) (英语) .
  5. ^ 5.0 5.1 6. Лемма о трезубце [6. 三叉引理] (PDF). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29 [2021-12-12]. (原始内容存档 (PDF)于2021-12-12) (俄语). 
  6. ^ Bogomolny, Alexander, Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters [内心与诸旁心所连线段之中点], Cut-the-Knot, [2016-01-26], (原始内容存档于2021-12-12) (英语) .
  7. ^ Aref, M. N.; Wernick, William, Problems and Solutions in Euclidean Geometry [欧氏几何问题及解答], Dover Books on Mathematics, Dover Publications, Inc., 3.3(i), p. 68, 1968 [2021-12-12], ISBN 9780486477206, (原始内容存档于2021-12-12) (英语) .
  8. ^ 8.0 8.1 Yiu, Paul, Conic construction of a triangle from its incenter, nine-point center, and a vertex [给定内心、九点圆心、一顶点,以圆锥曲线构作原三角形] (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 2012, 16 (2): 171–183 [2021-12-12], MR 3088369, (原始内容存档 (PDF)于2020-11-28) (英语) 
  9. ^ Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. Задачи для школьного математического кружка [数学兴趣小组题目] (PDF). Problem 1.2. : 4 [2021-12-12]. (原始内容存档 (PDF)于2021-12-12) (俄语). 
  10. ^ И. А. Кушнир. Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера [这个发现——莱昂哈德·欧拉的金钥] (PDF). Ф7 (Теорема трилистника), p.34;证明见p.36. [2021-12-12]. (原始内容存档 (PDF)于2021-12-12).