雞爪定理

三角形內心、旁心、頂點的位置關係

歐氏幾何中,雞爪定理[1](或內心/旁心引理,英語:incenter/excenter lemma)描述三角形頂點內心旁心外接圓的位置關係。其斷言,三角形某頂點所對的旁心、另兩個頂點、內心四點共圓,且其圓心中點)位於三角形的外接圓上。此定理的構形常於奧數幾何題出現。[2]

敍述

 
雞爪定理:三條紅色線段等長

 任意三角形 為其內心 角平分線 外接圓  。定理斷言,  三點等遠,即 

等價的說法有:

  •  三點的圓,圓心位於 。這尤其說明該圓的圓心在於原三角形的外接圓上。[3][4]
  • 諸三角形 皆為等腰 為其頂角。

還有第四點 也到 等遠,就是 所對的旁心。在以 為圓心的圓上,  互為對徑點,即  中點[5][6]

證明

由於同弧所對的圓周角相等,有

 

 為角 的平分線,有

 

 得證(等圓周角對等)。

最後計角有:

 

所以三角形 有兩底角相等,證畢 

應用於求作三角形

定理適用於解決以下問題:已知某三角形的一個頂點 內心 外心 ,求作該三角形。作法如下:

  1.  為圓心, 為半徑,作圓。此為三角形的外接圓。
  2. 作直線 ,與外接圓交於( 以外的另一點) 
  3.  為圓心, 為半徑作圓,定理保證所得的圓過另兩個頂點 
  4. 所以,該圓與外接圓的交點 即為所求。[7]

然而,並非在平面上任意取三點作為 皆有對應的三角形。若以上作法不能給出三角形,則問題可能出在  相切,也可能在於最後兩圓相切外離。而且,若 三點無任何限制,則即使作法確實給出三角形, 亦不必為其內心,可能是旁心。該些情況下,不存在三角形以 為頂點, 為內心、 為外心。(對於固定的 兩點,若要存在此種三角形,則 必須位於以 為尖點關於 作成的心臟線圍成的區域中。)[8]

其他構作三角形的問題,如給定頂點、內心、九點圓心,求作三角形,有部分情況可化歸為前述問題解決,但一般而言無法尺規作出[8]

命名

本定理有許多不同的名稱。「雞爪定理」得名自 諸線段組成的幾何圖形。同樣,俄文稱為лемма о трезубце[9][5],謂三叉引理,或теорема трилистника[10],謂三葉草定理。英文又稱theorem of trillium延齡草定理」,亦是以某種三葉植物命名。

定理亦有其他名稱並非來自該形狀,如「內心/旁心引理」(the incenter/excenter lemma)。[2]

參考文獻

  1. ^ 金磊. 鸡爪定理. 《數學中的小問題大定理》叢書(第六輯). 哈爾濱工業大學出版社. 2020. ISBN 9787560384245. 
  2. ^ 2.0 2.1 Evan Chen. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads [奧數歐氏幾何]. Mathematical Association of America. 2016: 9–10 [2021-12-12]. ISBN 9780883858394. (原始內容存檔於2021-12-15) (英語). This configuration shows up very often in olympiad geometry, so recognize it when it appears! 
  3. ^ Morris, Richard, Circles through notable points of the triangle [過三角形特殊點的圓], The Mathematics Teacher英語The Mathematics Teacher, 1928, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 (英語) . 尤其見p. 65處關於諸圓 及圓心的討論。
  4. ^ Bogomolny, Alexander英語Alexander Bogomolny, A Property of Circle Through the Incenter [過內心的圓之某性質], Cut-the-Knot, [2016-01-26], (原始內容存檔於2021-12-12) (英語) .
  5. ^ 5.0 5.1 6. Лемма о трезубце [6. 三叉引理] (PDF). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29 [2021-12-12]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-12-12) (俄語). 
  6. ^ Bogomolny, Alexander, Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters [內心與諸旁心所連線段之中點], Cut-the-Knot, [2016-01-26], (原始內容存檔於2021-12-12) (英語) .
  7. ^ Aref, M. N.; Wernick, William, Problems and Solutions in Euclidean Geometry [歐氏幾何問題及解答], Dover Books on Mathematics, Dover Publications, Inc., 3.3(i), p. 68, 1968 [2021-12-12], ISBN 9780486477206, (原始內容存檔於2021-12-12) (英語) .
  8. ^ 8.0 8.1 Yiu, Paul, Conic construction of a triangle from its incenter, nine-point center, and a vertex [給定內心、九點圓心、一頂點,以圓錐曲線構作原三角形] (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 2012, 16 (2): 171–183 [2021-12-12], MR 3088369, (原始內容存檔 (PDF)於2020-11-28) (英語) 
  9. ^ Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. Задачи для школьного математического кружка [數學興趣小組題目] (PDF). Problem 1.2. : 4 [2021-12-12]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-12-12) (俄語). 
  10. ^ И. А. Кушнир. Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера [這個發現——萊昂哈德·歐拉的金鑰] (PDF). Ф7 (Теорема трилистника), p.34;證明見p.36. [2021-12-12]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-12-12).