鸡爪定理

欧氏几何中，鸡爪定理（或内心/旁心引理，英语：incenter/excenter lemma）描述三角形的顶点、内心、旁心、外接圆的位置关系。其断言，三角形某顶点$B$所对的旁心$I_{B}$、另两个顶点$A$、$C$、内心$I$四点共圆，且其圆心（$II_{B}$中点）位于三角形的外接圆$\odot ABC$上。此定理的构形常于奥数几何题出现。

叙述

鸡爪定理：三条红色线段等长

设$\triangle ABC$为任意三角形，$I$为其内心，$\angle ABC$的角平分线$BI$交外接圆$\odot ABC$于$D$。定理断言，$D$到$A,C,I$三点等远，即$DA=DC=DI$。

等价的说法有：

• 过$A,C,I$三点的圆，圆心位于$D$。这尤其说明该圆的圆心在于原三角形的外接圆上。
• 诸三角形$AID,CID,ACD$皆为等腰，$D$为其顶角。

还有第四点$I_{B}$也到$D$等远，就是$B$所对的旁心。在以$D$为圆心的圆上，$I_{B}$与$I$互为对径点，即$D$为$II_{B}$的中点。

证明

由于同弧所对的圆周角相等，有

$\angle IBA=\angle DCA,\quad \angle IBC=\angle DAC.$

又$BI$为角$B$的平分线，有

$\angle DCA=\angle DAC,$

故$DA=DC$得证（等圆周角对等弦）。

最后计角有：

${\begin{aligned}\angle DIA={}&180^{\circ }-\angle AIB\\={}&\angle IAB+\angle IBA\\={}&\angle IAC+\angle DAC\\={}&\angle IAD.\\\end{aligned}}$

所以三角形$DIA$有两底角相等，证毕$DA=DI$。

应用于求作三角形

定理适用于解决以下问题：已知某三角形的一个顶点$B$、内心$I$和外心$O$，求作该三角形。作法如下：

1. 以$O$为圆心，$OB$为半径，作圆。此为三角形的外接圆。
2. 作直线$BI$，与外接圆交于（$B$以外的另一点）$D$。
3. 以$D$为圆心，$DI$为半径作圆，定理保证所得的圆过另两个顶点$A,C$。
4. 所以，该圆与外接圆的交点$A,C$即为所求。

然而，并非在平面上任意取三点作为$B,I,O$皆有对应的三角形。若以上作法不能给出三角形，则问题可能出在$IB$与$\odot O$相切，也可能在于最后两圆相切或外离。而且，若$B,I,O$三点无任何限制，则即使作法确实给出三角形，$I$亦不必为其内心，可能是旁心。该些情况下，不存在三角形以$B$为顶点，$I$为内心、$O$为外心。（对于固定的$B,O$两点，若要存在此种三角形，则$I$必须位于以$B$为尖点关于$\odot O$作成的心脏线围成的区域中。）

其他构作三角形的问题，如给定顶点、内心、九点圆心，求作三角形，有部分情况可化归为前述问题解决，但一般而言无法尺规作出。

命名

本定理有许多不同的名称。“鸡爪定理”得名自$DA,DI,DC$诸线段组成的几何图形。同样，俄文称为лемма о трезубце，谓三叉引理，或теорема трилистника，谓三叶草定理。英文又称theorem of trillium“延龄草定理”，亦是以某种三叶植物命名。

定理亦有其他名称并非来自该形状，如“内心/旁心引理”（the incenter/excenter lemma）。