音乐同构

数学中,特别是黎曼几何跟微分流形的理论里,音乐同构Musical isomorphism典范同构 canonical isomorphism)是指(黎曼流形 M切丛 TM余切丛 之间的同构,这个同构由黎曼度量给出。不过一般地,只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式(比如辛流形上的辛形式)便可定义这样的同构。在带有内积(或更一般的,非退化的双线性形式)的有限维向量空间 ,这些同构自然给出了 和其对偶空间 之间的同构,在这种情况一般称这些映射为典范同构(canonical isomorphosm)。

这些运算在流形上的张量场理论里也称为指标的上升和下降

正式定义

黎曼流形 M 的黎曼度量   是一个二阶的对称正定张量场  。在任意一点 xM,黎曼度量会诱导出一个映射  

 

这映射给了点  的切空间跟余切空间之间的一个线性同构,对任何切向量 Xx 属于 TxM,定义

 

其中符号   代表 流形上的黎曼度量。这意味着,

 

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

 

这是一个特别的微分同胚,在每个切空间上为线性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标  下,设度量矩阵为  ,逆矩阵为  ,向量场  。则这个同构会将 映射到

 

这里使用了爱因斯坦求和约定

以上同构称为降号音乐同构flat)用符号 表示,例如以上的函数 可表示成: ;而其逆运算称为升号sharp)用符号 表示:降号下降指标,升号上升指标,(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004,第75页)。升号用局部坐标表示为:

 

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式,任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构,对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中,这个同构非常重要,哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来

同构   与其逆   称为“音乐同构”是因为是因为常常用两种音乐符号  来代替这些同构,比如   会写成    会写成  ,它们将指标向下、向上移动。例如,流形上的向量场   经过   映射会变成余向量场:

 

这里  映射到 ,系数的指标从上到下,所以这运算用降号符号 表示。

而余向量  ,经过   运算会变成向量

 

所以指标向下、向上移动好似符号降号 )与升号 )下降与上升一个半音音高(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004,第75页)。

梯度、散度与旋度

音乐同构可以用来定义   上无坐标形式的梯度散度旋度

 

这里   分别是   里的函数跟向量场, 霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999,第135页)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上,第一个等式便定义了以 f哈密顿量的哈密顿向量场。

此外,值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积外积联系起来,设 vw  中向量场,容易证明

 

参考文献