音樂同構

數學中,特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裏,音樂同構Musical isomorphism典範同構 canonical isomorphism)是指(黎曼流形 M切叢 TM餘切叢 之間的同構,這個同構由黎曼度量給出。不過一般地,只要流形的切叢上有一個處處非退化的雙線性形式(比如辛流形上的辛形式)便可定義這樣的同構。在帶有內積(或更一般的,非退化的雙線性形式)的有限維向量空間 ,這些同構自然給出了 和其對偶空間 之間的同構,在這種情況一般稱這些映射為典範同構(canonical isomorphosm)。

這些運算在流形上的張量場理論裏也稱為指標的上升和下降

正式定義

黎曼流形 M 的黎曼度量   是一個二階的對稱正定張量場  。在任意一點 xM,黎曼度量會誘導出一個映射  

 

這映射給了點  的切空間跟餘切空間之間的一個線性同構,對任何切向量 Xx 屬於 TxM,定義

 

其中符號   代表 流形上的黎曼度量。這意味着,

 

這些線性映射的集合定義了一個叢同構

 

這是一個特別的微分同胚,在每個切空間上為線性映射。在截面的層次上即是切向量場到餘切向量場的同構。在一個局部坐標  下,設度量矩陣為  ,逆矩陣為  ,向量場  。則這個同構會將 映射到

 

這裏使用了愛因斯坦求和約定

以上同構稱為降號音樂同構flat)用符號 表示,例如以上的函數 可表示成: ;而其逆運算稱為升號sharp)用符號 表示:降號下降指標,升號上升指標,(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004,第75頁)。升號用局部坐標表示為:

 

這兩個同構的核心是 g 為處處非退化的雙線性形式,任何一個非退化的雙線性形式都可給出類似的同構,對偽黎曼流形、辛流形也有類似的同構。在辛幾何中,這個同構非常重要,哈密頓向量場便是由這個同構導出的。

名稱由來

同構   與其逆   稱為「音樂同構」是因為是因為常常用兩種音樂符號  來代替這些同構,比如   會寫成    會寫成  ,它們將指標向下、向上移動。例如,流形上的向量場   經過   映射會變成餘向量場:

 

這裏  映射到 ,系數的指標從上到下,所以這運算用降號符號 表示。

而餘向量  ,經過   運算會變成向量

 

所以指標向下、向上移動好似符號降號 )與升號 )下降與上升一個半音音高(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004,第75頁)。

梯度、散度與旋度

音樂同構可以用來定義   上無坐標形式的梯度散度旋度

 

這裏   分別是   裏的函數跟向量場, 霍奇星號算子(Marsden & Raţiu 1999,第135頁)。不難驗證這與通常坐標形式的定義是一致的。第一個等式對更一般的黎曼流形上的光滑函數也成立。而在辛流形上,第一個等式便定義了以 f哈密頓量的哈密頓向量場。

此外,值得指出的是可用音樂同構和霍奇星號算子把叉積外積聯繫起來,設 vw  中向量場,容易證明

 

參考文獻