三面形
三面形（英语：Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron或3-hosohedron[1]）是以三角形为基底的多面形，表示三个镶嵌在球面上的球弓形，为球面三面体的一种[2]，由3个面、3条边和2个顶点组成，在施莱夫利符号中利用{2,3}来表示[3]，其对偶多面体是三角形二面体。
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| 类别 | 多面形、均匀多面体、球面镶嵌 |
|---|---|
| 对偶多面体 | 三角形二面体 |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 |     |
| 施莱夫利符号 | {2,3} |
| 威佐夫符号 | 3 | 2 2 |
| 性质 | |
| 面 | 3 |
| 边 | 3 |
| 顶点 | 2 |
| 欧拉特征数 | F=3, E=3, V=2 （χ=2） |
| 组成与布局 | |
| 面的种类 | 二角形 |
| 顶点布局 | 23 |
| 对称性 | |
| 对称群 | D3h, [2,3], (*223), 12阶 |
| 旋转对称群 | D3, [2,3]+, (223), order 12 |
性质
三面形是一个退化的多面体，其无法拥有体积。三面形由3个二角形组成，每个顶点都是3个二角形的公共顶点。正三面形的每个面都是正二角形，且每个顶点都是3个正二角形的公共顶点，因此正三面形也可以视为一种正多面体，但是因为其已退化，因此不会与柏拉图立体一同讨论，但可以视为一种正则地区图。[3]
三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的对称性和 D3, [2,3]+ 的旋转对称性，且阶数为12，在考克斯特符号中用
表示。
皮特里三面形
三面形的皮特里多边形是一种具有6条边和6个顶点的退化扭歪多边形[3]，其边两两共用，六个顶点每三个互相共用。三面形的皮特里对偶由一个前述的六边形组成，并且该六边形在每个顶点的周围，以正则地区图的模式自我相邻3次[5]，因此在施莱夫利符号中可以用{6,3}(1,1)来表示[3]。
三面形的皮特里对偶共由1个面、3条边和2个顶点组成，可以视为一面体的一种，是一个可定向曲面[5]，作为正则地区图可以具象化为一种环形多面体，在施莱夫利符号中表示为{6,3}1,0[7]。
 {6,3}1,0 由1个面、3条棱和2个顶点组成 (v:2, e:3, f:1) |
对偶多面体
三面形的对偶多面体为三角形二面体（Triangular dihedron或Trigonal dihedron），又称为双三角形（di-triangle[8]），是一种多边形二面体，由2个三角形面、三条边和三个顶点组成。期两个三角形已背对背的方式互相连接，与截半三面形类似，但没有像截半三面形那样在边与边的连接处存在两角形（三角形二面体截半的结果也是截半三面形）。[8]
正三角形二面体是指由两个正三角形背对背贴合所形成的几何体，由于其组成面皆为正多边形，且所有边等长、所有角等角，因此可以视为一种退化的正多面体，其在施莱夫利符号中以{3,2}表示，代表由2个施莱夫利符号表示为{3}的正三角形组成。[9]
做为一个球面镶嵌，球面的正三角形二面体由2个球形三角形组成，其在球面的大圆上共用3个相同的顶点；球面正三角形二面体的每个正三角形面都恰好填满了一个半球。这两个球面正三角形在球面的大圆赤道上等距地分布。
三角形二面体的皮特里对偶为六边形二面体半形[8][10]，即六边形二面体的多面体半形，这意味著三角形二面体的皮特里多边形为六边形[8]，该六边形的顶点两两共用，或可以是围绕三角形两圈构成的六边形[10]。
截半三面形
截半三面形是指三面形经过截半变换后的结果，即三面形节去所有顶点至边的中点。所形成的立体由2个三角形截面和3个二角形原始面组成。2个三角形面以类似多边形二面体的方式贴合，而3个二角形则位于贴合边上，围绕三角形面一圈，类似于一串香肠串的样式[11]，因此又称为三角香肠面形（3-lucanicohedron）[12]。
截半三面形共由5个面、6条边和3个顶点组成，在其5个面中有2个三角形面和3个二角形面，其3个顶点皆为2个二角形和2个三角形的公共顶点。由于截半三面形由两种面组成（二角形和三角形），因此其不算是正则地区图，仅能算做拟正则地区图。截半三面形也是三角形二面体经过截半变换后的结果。[12]
截角三角形二面体
截角三角形二面体是一个与截半三面形类似的几何体，其同样有3个二角形面，但两个三角形面变为两个六边形面，六边形面同样背对背贴合，3个二角形面交错地分布在六边形的边上的贴和处，无二角形面的六边形-六边形贴和处则是直接贴合，因此其顶点图变为两个六边形和一个二角形的公共顶点。
 截角三角形二面体 |
截半三面形 |
相关多面体
三面形是三角形二面体的对偶多面体[3]，因此与三角形二面体具有相同的对称性，其可以衍生出一些相关的多面体：
| 对称群：[3,2], (*322) | [3,2]+, (322) | ||||||||
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| {3,2} （章节） |
t{3,2} （章节） |
r{3,2} （章节） |
2t{3,2}=t{2,3} | 2r{3,2}={2,3} | rr{3,2} | tr{3,2} | sr{3,2} | ||
| 半正对偶 | |||||||||
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| V32 | V62 | V32 | V4.4.3 | V23 | V4.4.3 | V4.4.6 | V3.3.3.3 | ||
| 球面镶嵌 | 欧式镶嵌 仿紧空间 |
双曲镶嵌 非紧空间 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ | iπ/λ |
| 一面形 | 二面形 | 三面形 | 四面形 | 五面形 | 六面形 | 七面形 | 八面形 | 九面形 | 十面形 | 十一面形 | 十二面形 | 无限面形 | 超无限面形 | |
| {2,1} |
{2,2} |
{2,3} |
 {2,4} |
 {2,5} |
 {2,6} |
 {2,7} |
 {2,8} |
 {2,9} |
  {2,10} |
{2,11} |
 {2,12} |
 {2,∞} |
 {2,iπ/λ} | |
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参见
注释
参考文献
- ^ E. Alesci, M. Assanioussi, J. Lewandowski. Curvature operator for loop quantum gravity. Physical Review D. 2014-06-12, 89 (12) [2022-12-16]. ISSN 1550-7998. doi:10.1103/PhysRevD.89.124017. （原始内容存档于2022-12-16） （英语）.
- ^ Teng-Teng Chen, Wan-Lu Li, Wei-Jia Chen, Xiao-Hu Yu, Xin-Ran Dong, Jun Li, Lai-Sheng Wang. Spherical trihedral metallo-borospherenes. Nature Communications. 2020-06-02, 11 (1) [2022-12-16]. ISSN 2041-1723. PMC 7265489
. PMID 32488008. doi:10.1038/s41467-020-16532-x. （原始内容存档于2022-12-16） （英语）.
- ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 The 3-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始内容存档于2022-12-15）.
- ^ Notes on operations on polyhedra. antitile.readthedocs.io. [2022-12-16]. （原始内容存档于2022-12-16）.
- ^ 5.0 5.1 {3,6}(1,1). weddslist.com. [2022-12-15].
- ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6
- ^ Coxeter 1980[6], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 The di-triangle. weddslist.com. [2023-01-09]. （原始内容存档于2022-12-29）.
- ^ Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes 3rd, Dover Publications Inc.: 12, January 1973, ISBN 0-486-61480-8
- ^ 10.0 10.1 The hemi-di-hexagon. weddslist.com. [2023-01-09]. （原始内容存档于2016-03-14）.
- ^ glossary§lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. （原始内容存档于2021-05-07）.
- ^ 12.0 12.1 The 3-lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. （原始内容存档于2022-12-29）.
