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三面形

三面形（英語：Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron或3-hosohedron[1]）是以三角形為基底的多面形，表示三個鑲嵌在球面上的球弓形（英語：Spherical lune），為球面三面體的一種[2]，由3個面、3條邊和2個頂點組成，在施萊夫利符號中利用{2,3}來表示[3]，其對偶多面體是三角形二面體。

三面形
三面形
類別多面形、均勻多面體、球面鑲嵌
對偶多面體三角形二面體在維基數據編輯
數學表示法
考克斯特符號
（英語：Coxeter-Dynkin diagram）		node 3 node 2 node_1 
施萊夫利符號{2,3}在維基數據編輯
威佐夫符號
（英語：Wythoff symbol）		3 | 2 2
性質
面3
邊3
頂點2
歐拉特徵數F=3, E=3, V=2 （χ=2）
組成與佈局
面的種類二角形
頂點佈局
（英語：Vertex_configuration）		23
對稱性
對稱群D3h, [2,3], (*223), 12階
旋轉對稱群
（英語：Rotation_groups）		D3, [2,3]+, (223), order 12

性質

三面形是一個退化的多面體，其無法擁有體積。三面形由3個二角形組成，每個頂點都是3個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是3個正二角形的公共頂點，因此正三面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論，但可以視為一種正則地區圖。[3]

三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性，且階數為12，在考克斯特符號中用     表示。

三面形可以經由一角形二面體透過截角變換而得[註 1][3]。

三面形可以截角為三角柱，也可以交錯截角為正四面體[4]。

皮特里三面形

三面形的皮特里多邊形是一種具有6條邊和6個頂點的退化扭歪多邊形[3]，其邊兩兩共用，六個頂點每三個互相共用。三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成，並且該六邊形在每個頂點的周圍，以正則地區圖的模式自我相鄰3次[5]，因此在施萊夫利符號中可以用{6,3}(1,1)來表示[3]。

三面形的皮特里對偶共由1個面、3條邊和2個頂點組成，可以視為一面體的一種，是一個可定向曲面[5]，作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體，在施萊夫利符號中表示為{6,3}1,0[7]。

環形多面體的展開圖
 
{6,3}1,0
由1個面、3條稜和2個頂點組成
(v:2, e:3, f:1)

對偶多面體

 
球面上的三角形二面體，三面形的對偶多面體

三面形的對偶多面體為三角形二面體（Triangular dihedron或Trigonal dihedron），又稱為雙三角形（di-triangle[8]），是一種多邊形二面體，由2個三角形面、三條邊和三個頂點組成。期兩個三角形已背對背的方式互相連接，與截半三面形類似，但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形（三角形二面體截半的結果也是截半三面形）。[8]

正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體，由於其組成面皆為正多邊形，且所有邊等長、所有角等角，因此可以視為一種退化的正多面體，其在施萊夫利符號中以{3,2}表示，代表由2個施萊夫利符號表示為{3}的正三角形組成。[9]

做為一個球面鑲嵌，球面的正三角形二面體由2個球形三角形組成，其在球面的大圓上共用3個相同的頂點；球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球。這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布。

三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形[8][10]，即六邊形二面體的多面體半形，這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形[8]，該六邊形的頂點兩兩共用，或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形[10]。

截半三面形

 
截半三面形

截半三面形是指三面形經過截半變換後的結果，即三面形節去所有頂點至邊的中點。所形成的立體由2個三角形截面和3個二角形原始面組成。2個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合，而3個二角形則位於貼合邊上，圍繞三角形面一圈，類似於一串香腸串的樣式[11]，因此又稱為三角香腸面形（3-lucanicohedron）[12]。

截半三面形共由5個面、6條邊和3個頂點組成，在其5個面中有2個三角形面和3個二角形面，其3個頂點皆為2個二角形和2個三角形的公共頂點。由於截半三面形由兩種面組成（二角形和三角形），因此其不算是正則地區圖，僅能算做擬正則地區圖。截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果。[12]

截角三角形二面體

截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體，其同樣有3個二角形面，但兩個三角形面變為兩個六邊形面，六邊形面同樣背對背貼合，3個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處，無二角形面的六邊形-六邊形貼和處則是直接貼合，因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點。

 
截角三角形二面體 		 
截半三面形

相關多面體

三面形是三角形二面體的對偶多面體[3]，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體：

半正三角形二面體球面多面體
對稱群（英語：List of spherical symmetry groups）：[3,2], (*322) [3,2]+, (322)
                                               
             
{3,2}
（章節） 		t{3,2}
（章節） 		r{3,2}
（章節） 		2t{3,2}=t{2,3} 2r{3,2}={2,3} rr{3,2} tr{3,2} sr{3,2}
半正對偶
                                               
               
V32 V62 V32 V4.4.3 V23 V4.4.3 V4.4.6 V3.3.3.3
正多面形系列
球面鑲嵌 歐式鑲嵌
仿緊空間 		雙曲鑲嵌
非緊空間
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... ∞ iπ/λ
一面形 二面形 三面形 四面形 五面形 六面形 七面形 八面形 九面形 十面形 十一面形 十二面形 無限面形 超無限面形
   
{2,1} 		     
{2,2} 		     
{2,3} 		     
{2,4} 		     
{2,5} 		     
{2,6} 		     
{2,7} 		     
{2,8} 		     
{2,9} 		      
{2,10} 		      
{2,11} 		      
{2,12} 		     
{2,∞} 		     
{2,iπ/λ}
                           

參見

註釋

  1. ^ 一角形二面體由2個一角形、1條邊和1個頂點組成，頂點圖為二角形，因此截角變換後會生成二角形面，並在與單一頂點相鄰的單一邊之兩側各形成一個頂點，將原有的2個一角形截角二角形，再加上截角產生的新二角形，其截角變換的像將會有3條邊、3個二角形和2個頂點，此結構即為三面形。

參考文獻

  1. ^ E. Alesci, M. Assanioussi, J. Lewandowski. Curvature operator for loop quantum gravity. Physical Review D. 2014-06-12, 89 (12) [2022-12-16]. ISSN 1550-7998. doi:10.1103/PhysRevD.89.124017. （原始內容存檔於2022-12-16） （英語）. 
  2. ^ Teng-Teng Chen, Wan-Lu Li, Wei-Jia Chen, Xiao-Hu Yu, Xin-Ran Dong, Jun Li, Lai-Sheng Wang. Spherical trihedral metallo-borospherenes. Nature Communications. 2020-06-02, 11 (1) [2022-12-16]. ISSN 2041-1723. PMC 7265489  . PMID 32488008. doi:10.1038/s41467-020-16532-x. （原始內容存檔於2022-12-16） （英語）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 The 3-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始內容存檔於2022-12-15）. 
  4. ^ Notes on operations on polyhedra. antitile.readthedocs.io. [2022-12-16]. （原始內容存檔於2022-12-16）. 
  5. ^ 5.0 5.1 {3,6}(1,1). weddslist.com. [2022-12-15]. 
  6. ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 
  7. ^ Coxeter 1980[6], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 The di-triangle. weddslist.com. [2023-01-09]. （原始內容存檔於2022-12-29）. 
  9. ^ Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes 3rd, Dover Publications Inc.: 12, January 1973, ISBN 0-486-61480-8 
  10. ^ 10.0 10.1 The hemi-di-hexagon. weddslist.com. [2023-01-09]. （原始內容存檔於2016-03-14）. 
  11. ^ glossary§lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. （原始內容存檔於2021-05-07）. 
  12. ^ 12.0 12.1 The 3-lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. （原始內容存檔於2022-12-29）. 
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