審斂法

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在數學領域，收斂性判別法是判斷無窮級數收斂、條件收斂、絕對收斂、區間收斂或發散的方法。

判別法列表

通項極限判別法

如果序列通項的極限不為零或無定義，即 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0$ ，那麼級數不收斂。在這種意義下，部分和是柯西數列的必要條件是極限存在且為零。這一判別法在通項極限為零時無效。

比值審斂法（檢比法）

假設對任何的 $n$ ， $a_{n}>0$ 。如果存在 $r$ 使得：

\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r

如果 $r<1$ ，那麼級數絕對收斂。如果 $r>1$ ，那麼級數發散。如果 $r=1$ ，比例判別法失效，級數可能收斂也可能發散，此時可以考慮高斯判別法。

高斯判別法

設 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 是要判斷審斂性的級數，其中（至少從某一項開始） $a_{n}>0$ 。倘若其相鄰項比值 ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ 可以被表示為：

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}$

其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是常數，而 $\theta _{n}$ 是一個有界的序列，那麼

當 $\lambda >1$ 或 $\lambda =1,\mu >1$ 時，級數收斂；
當 $\lambda <1$ 或 $\lambda =1,\mu \leq 1$ 時，級數發散。

根值審斂法（檢根法）

r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}

其中 $\limsup$ 表示上極限（可能為無窮，若極限存在，則極限值等於上極限）。

如果 $r<1$ ，級數絕對收斂。如果 $r>1$ ，級數發散。如果 $r=1$ ，開方判別法無效，級數可能收斂也可能發散。

比較審斂法

如果 $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ 是一個絕對收斂級數且對於足夠大的 $n$ ，有 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ ，那麼級數 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 也絕對收斂。

極限比較審斂法

如果 $\left\{a_{n}\right\}\geq 0,\left\{b_{n}\right\}>0$ ，並且極限 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ 存在非零，那麼 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 收斂當且僅當 $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ 收斂。

具有以下形式的級數 $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$ 。其中所有的 $a_{n}$ 非負，被稱作交錯級數。如果當 $n$ 趨於無窮時，數列 $a_{n}$ 的極限存在且等於 $0$ ，並且每個 $a_{n}$ 小於或等於 $a_{n-1}$ （即數列 $a_{n}$ 是單調遞減的），那麼級數收斂。如果 $L$ 是級數的和 $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!$ 那麼部分和 $S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!$ 逼近 $L$ 有截斷誤差 $\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!$ 。