审敛法

无穷级数
	无穷级数
审敛法
	项测试 · 比较审敛法 · 极限比较审敛法 ·根值审敛法 · 比值审敛法 · 柯西判别法 · 柯西并项判别法 · 拉比判别法 · 高斯判别法 · 积分判别法 · 魏尔施特拉斯判别法 · 贝特朗判别法 · 狄利克雷判别法 · 阿贝尔判别法 · 库默尔判别法 · 斯托尔兹—切萨罗定理 · 迪尼判别法
级数
	调和级数 · 调和级数 · 幂级数 · 泰勒级数 · 傅里叶级数
	查; 论; 编;

在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。

判别法列表

通项极限判别法

如果序列通项的极限不为零或无定义，即 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0$ ，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。

比值审敛法（检比法）

假设对任何的 $n$ ， $a_{n}>0$ 。如果存在 $r$ 使得：

\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r

如果 $r<1$ ，那么级数绝对收敛。如果 $r>1$ ，那么级数发散。如果 $r=1$ ，比例判别法失效，级数可能收敛也可能发散，此时可以考虑高斯判别法。

高斯判别法

设 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始） $a_{n}>0$ 。倘若其相邻项比值 ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$ 可以被表示为：

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}$

其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是常数，而 $\theta _{n}$ 是一个有界的序列，那么

当 $\lambda >1$ 或 $\lambda =1,\mu >1$ 时，级数收敛；
当 $\lambda <1$ 或 $\lambda =1,\mu \leq 1$ 时，级数发散。

根值审敛法（检根法）

r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}

其中 $\limsup$ 表示上极限（可能为无穷，若极限存在，则极限值等于上极限）。

如果 $r<1$ ，级数绝对收敛。如果 $r>1$ ，级数发散。如果 $r=1$ ，开方判别法无效，级数可能收敛也可能发散。

比较审敛法

如果 $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ 是一个绝对收敛级数且对于足够大的 $n$ ，有 $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ ，那么级数 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 也绝对收敛。

极限比较审敛法

如果 $\left\{a_{n}\right\}\geq 0,\left\{b_{n}\right\}>0$ ，并且极限 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ 存在非零，那么 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 收敛当且仅当 $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ 收敛。

具有以下形式的级数 $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$ 。其中所有的 $a_{n}$ 非负，被称作交错级数。如果当 $n$ 趋于无穷时，数列 $a_{n}$ 的极限存在且等于 $0$ ，并且每个 $a_{n}$ 小于或等于 $a_{n-1}$ （即数列 $a_{n}$ 是单调递减的），那么级数收敛。如果 $L$ 是级数的和 $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!$ 那么部分和 $S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!$ 逼近 $L$ 有截断误差 $\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!$ 。