結式是數學中一個常用的不變量。考慮域
上兩個多項式
,設其首項係數分別為
,則其結式定義為
![{\displaystyle \mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420db1c373e2f29d0ceacaef9b61b7d2097db394)
其中
為
的給定代數閉包。由此定義的結式是
的元素,而與代數閉包的選取無關。
計算方式
- 結式亦可理解為西爾維斯特矩陣的行列式。
- 為簡單起見,假設 首項係數為一;若 是可分多項式(換言之:無重根),則定義可改寫為
-
- 此式僅依賴於 除以 的餘式。
性質
-
-
- 若 且 ,那麼 。在論及計算方式時已利用此性質。
- 若 同次, ,則有
-
- ,其中 。
應用
- 一多項式 與其導數 的結式可由判別式 表示:設 的首項係數為 ,則
- 。
外部連結