結式

結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 $F$ 上兩個多項式 $P,Q$，設其首項係數分別為 $a,b$，則其結式定義為

$\mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,$

其中 ${\bar {F}}$ 為 $F$ 的給定代數閉包。由此定義的結式是 $F$ 的元素，而與代數閉包的選取無關。

計算方式

• 結式亦可理解為西爾維斯特矩陣的行列式。
• 為簡單起見，假設 $P,Q$ 首項係數為一；若 $Q$ 是可分多項式（換言之：無重根），則定義可改寫為

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,$

此式僅依賴於 $Q$ 除以 $P$ 的餘式。

• 承上，可透過輾轉相除法求得結式。

性質

• $\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
• $\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
• 若 $P_{1}=P+R*Q$且$\deg P_{1}=\deg P$，那麼$\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)$。在論及計算方式時已利用此性質。
• 若 $X,Y,P,Q$ 同次，$X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$，則有

$\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)$

• $\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)$，其中 $P_{-}(z):=P(-z)$。

應用

• 一多項式 $P$ 與其導數 $P'$的結式可由判別式 $D(P)$ 表示：設 $P$ 的首項係數為 $a$，則

$D(P)=(-1)^{\frac {\deg P(\deg P-1)}{2}}a^{-1}\mathrm {res} (P,P')$。

• 在代數幾何中，可用結式計算兩條平面代數曲線之交。
• 在域論中，結式可用來計算範數。

外部連結

• Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）