在物理学 里，作用量 （英语：action ）是一个很特别、很抽象的物理量 。它表示著一个动力物理系统 内在的演化趋向。虽然与微分方程 方法大不相同，作用量也可以被用来分析物理系统的运动，所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态，初始状态与最终状态，然后，经过求解作用量的平稳值 ，就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。
皮埃尔·德·费马 于1662年发表了费马原理 。这原理阐明：光传播的正确路径，所需的时间必定是极值 。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律 的机械性，现今，一个物理系统的运动拥有了展望与目标。
戈特弗里德·莱布尼茨 不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论：光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径；更精确地说，阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题，如果要符合实验的结果，玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍；但是，玻璃的密度大于空气，应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散 ；因此，光被约束在一个很窄的路径内。假若，河道变窄，水的流速会增加；同样地，光的路径变窄，所以光的速度变快了。
1744年，皮埃尔·莫佩尔蒂 在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，发表了最小作用量原理 ：光选择的传播路径，作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理，他证明了费马原理：光传播的正确路径，所需的时间是极值 ；他也计算出光在反射 与同介质 传播时的正确路径。1747年，莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中，应用这原理于碰撞 ，正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞；这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。
莱昂哈德·欧拉 在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律，而这物理量是
∫
p
a
t
h
v
2
d
t
{\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!}
有心力 作用时，正确的抛射体运动。
在此以后，许多物理学家，包括约瑟夫·拉格朗日 、威廉·哈密顿 、理查德·费曼 等等，对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。
微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。
作用量方法是一种全然不同的方法，它能够描述物理系统的运动，而且只需要设定物理变数在两点的数值，称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算，可以得到，此变数在这两点之间任何点的数值。而且，作用量方法与微分方程方法所得到的答案完全相同。
哈密顿原理 阐明了这两种方法在物理学价位的等价：描述物理系统运动的微分方程 ，也可以用一个等价的积分方程 来描述。无论是关于经典力学 中的一个单独粒子、关于经典场 像电磁场 或重力场 ，这描述都是正确的。更加地，哈密顿原理已经延伸至量子力学 与量子场论 了。
用变分法 数学语言来描述，求解一个物理系统作用量的平稳值 （通常是最小值），可以得到这系统随时间的演化（就是说，系统怎样从一个状态演化到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演化对于任何摄动 必须是平稳 的。这要求导致出描述正确演化的微分方程。
在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。
最常见的作用量是一个泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
函数 ，输出是一个标量 。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
广义坐标
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
作用量
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
拉格朗日量
L
{\displaystyle L\,\!}
S
[
q
(
t
)
]
=
∫
t
1
t
2
L
[
q
,
q
˙
,
t
]
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}
根据哈密顿原理 ，正确的演化
q
t
r
u
e
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!}
平稳 的作用量
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
鞍值 ）。经过运算，结果就是拉格朗日方程 。
简略作用量 也是一个泛函，通常标记为
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
广义动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
S
0
=
∫
p
d
q
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!}
其中，
q
{\displaystyle \mathbf {q} \,\!}
莫佩尔蒂原理 ，正确路径的简略作用量
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
主条目：哈密顿主函数 。 哈密顿主函数 是由哈密顿-雅可比方程定义的。哈密顿-雅可比方程是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数
S
{\displaystyle S\,\!}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
q
1
{\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
q
2
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
q
2
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}
S
{\displaystyle S\,\!}
S
{\displaystyle S\,\!}
拉格朗日量 对于时间的不定积分 ：
S
(
q
,
P
,
t
)
=
∫
L
[
q
,
q
˙
,
t
]
d
t
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}
更加地，可以证明
P
{\displaystyle \mathbf {P} \,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
S
(
q
,
P
,
t
)
=
S
(
q
,
a
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!}
主条目：哈密顿特征函数 。 假若，哈密顿量
H
{\displaystyle H\,\!}
H
=
α
{\displaystyle H=\alpha \,\!}
其中，
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
设定哈密顿特征函数
W
{\displaystyle W\,\!}
W
(
q
,
a
)
=
S
(
q
,
a
,
t
)
−
α
t
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!}
则哈密顿特征函数
W
{\displaystyle W\,\!}
更加地，
d
W
d
t
=
∂
W
∂
q
q
˙
=
p
q
˙
{\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!}
对于时间积分：
W
(
q
,
a
)
=
∫
p
q
˙
d
t
=
∫
p
d
q
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!}
这正是简略作用量 的方程。
主条目：哈密顿-雅可比方程 。 哈密顿-雅可比方程 是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程是完全可分的；则哈密顿主函数
S
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
S
k
(
q
k
,
P
,
t
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
主条目：作用量-角度坐标 。思考一个作用量-角度坐标 的广义动量变数
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
相空间 内，关于转动运动或振荡运动，广义动量的闭路径积分 ：
J
k
=
∮
p
k
d
q
k
{\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!}
这变数
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
正则坐标 是角度
w
k
{\displaystyle w_{k}\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!}
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
摄动理论 与缓渐不变量 的研究。
参阅重言1形式 。
哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
一次变分
δ
S
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
S
=
d
e
f
∫
t
1
t
2
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!}
其中，
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}
拉格朗日函数 ，广义坐标
q
=
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!}
假若，
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
δ
S
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!}
从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程．假设
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
δ
q
{\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!}
ε
(
t
1
)
=
ε
(
t
2
)
=
d
e
f
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
取至
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
一次变分 为
δ
S
=
∫
t
1
t
2
[
L
(
q
+
ε
,
q
˙
+
ε
˙
)
−
L
(
q
,
q
˙
)
]
d
t
=
∫
t
1
t
2
(
ε
⋅
∂
L
∂
q
+
ε
˙
⋅
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
这里，将拉格朗日量
L
{\displaystyle L\,\!}
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
应用分部积分法 于最右边项目，
δ
S
=
[
ε
⋅
∂
L
∂
q
˙
]
t
1
t
2
+
∫
t
1
t
2
(
ε
⋅
∂
L
∂
q
−
ε
⋅
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
边界条件
ε
(
t
1
)
=
ε
(
t
2
)
=
d
e
f
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
δ
S
=
∫
t
1
t
2
ε
⋅
(
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
要求作用量泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
δ
S
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
δ
S
=
∫
t
1
t
2
ε
⋅
(
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!}
请注意，还没有对广义坐标
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
完整限制 ）。这样，根据变分法基本引理 ，可以得到拉格朗日方程：
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!}
在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。
对应于广义坐标
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
广义动量
p
k
{\displaystyle p_{k}\,\!}
共轭动量 ，定义为
p
k
=
d
e
f
∂
L
∂
q
˙
k
{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}
假设
L
{\displaystyle L\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
∂
L
∂
q
k
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!}
则广义动量
p
k
=
d
e
f
∂
L
∂
q
˙
k
{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
循环坐标 。举例而言，如果用极坐标系
(
r
,
θ
,
h
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!}
L
{\displaystyle L\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
角动量 。
Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7 .这领域最常引用的参考书。
列夫·朗道 and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0 .这本书一开始就讲解最小作用量原理。Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC 35269891 , pages 840–842。
Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2 。非常好的古早书。
Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2 , pp. 254-275。
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cee0c85b006a45d487296b17782c626c041b79d)
![{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67eaae9b7f3d2a6e098f0bbf839c28a77b6955bd)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fabe04476c8943e5676ea94fb3b6aff8a476a3f)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066955b204ff91fa042d9a4a3469e9cb2c3fa5a4)
