在物理學 裏，作用量 （英語：action ）是一個很特別、很抽象的物理量 。它表示著一個動力物理系統 內在的演化趨向。雖然與微分方程式 方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值 ，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。
皮埃爾·德·費馬 於1662年發表了費馬原理 。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值 。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律 的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。
戈特弗里德·萊布尼茨 不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散 ；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。
1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂 在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理 ：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值 ；他也計算出光在反射 與同介質 傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞 ，正確地分析了彈性碰撞與非彈性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。
萊昂哈德·歐拉 在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是
∫
p
a
t
h
v
2
d
t
{\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!}
連心力 作用時，正確的拋射體運動。
在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫·拉格朗日 、威廉·哈密頓 、理察·費曼 等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。
微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。
作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。
哈密頓原理 闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式 ，也可以用一個等價的積分方程式 來描述。無論是關於古典力學 中的一個單獨粒子、關於古典場 像電磁場 或重力場 ，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學 與量子場論 了。
用變分法 數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值 （通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾 必須是平穩 的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。
在古典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。
最常見的作用量是一個泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
函數 ，輸出是一個純量 。在古典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
廣義座標
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
作用量
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
拉格朗日量
L
{\displaystyle L\,\!}
S
[
q
(
t
)
]
=
∫
t
1
t
2
L
[
q
,
q
˙
,
t
]
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}
根據哈密頓原理 ，正確的演化
q
t
r
u
e
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!}
平穩 的作用量
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
鞍值 ）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式 。
簡略作用量 也是一個泛函，通常標記為
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
廣義動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
S
0
=
∫
p
d
q
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!}
其中，
q
{\displaystyle \mathbf {q} \,\!}
莫佩爾蒂原理 ，正確路徑的簡略作用量
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
主條目：哈密頓主函數 。 哈密頓主函數 是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是古典力學的另一種表述。哈密頓主函數
S
{\displaystyle S\,\!}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
q
1
{\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
q
2
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
q
2
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}
S
{\displaystyle S\,\!}
S
{\displaystyle S\,\!}
拉格朗日量 對於時間的不定積分 ：
S
(
q
,
P
,
t
)
=
∫
L
[
q
,
q
˙
,
t
]
d
t
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}
更加地，可以證明
P
{\displaystyle \mathbf {P} \,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
S
(
q
,
P
,
t
)
=
S
(
q
,
a
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!}
主條目：哈密頓特徵函數 。 假若，哈密頓量
H
{\displaystyle H\,\!}
H
=
α
{\displaystyle H=\alpha \,\!}
其中，
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
設定哈密頓特徵函數
W
{\displaystyle W\,\!}
W
(
q
,
a
)
=
S
(
q
,
a
,
t
)
−
α
t
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!}
則哈密頓特徵函數
W
{\displaystyle W\,\!}
更加地，
d
W
d
t
=
∂
W
∂
q
q
˙
=
p
q
˙
{\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!}
對於時間積分：
W
(
q
,
a
)
=
∫
p
q
˙
d
t
=
∫
p
d
q
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!}
這正是簡略作用量 的方程式。
主條目：哈密頓-雅可比方程式 。 哈密頓-雅可比方程式 是古典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數
S
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
S
k
(
q
k
,
P
,
t
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
主條目：作用量-角度座標 。思考一個作用量-角度座標 的廣義動量變數
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
相空間 內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分 ：
J
k
=
∮
p
k
d
q
k
{\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!}
這變數
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
正則座標 是角度
w
k
{\displaystyle w_{k}\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!}
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
微擾理論 與緩漸不變量 的研究。
參閱重言1形式 。
哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
一次變分
δ
S
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
S
=
d
e
f
∫
t
1
t
2
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!}
其中，
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}
拉格朗日函數 ，廣義座標
q
=
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!}
假若，
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
δ
S
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!}
從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
δ
q
{\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!}
ε
(
t
1
)
=
ε
(
t
2
)
=
d
e
f
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
取至
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
一次變分 為
δ
S
=
∫
t
1
t
2
[
L
(
q
+
ε
,
q
˙
+
ε
˙
)
−
L
(
q
,
q
˙
)
]
d
t
=
∫
t
1
t
2
(
ε
⋅
∂
L
∂
q
+
ε
˙
⋅
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
這裏，將拉格朗日量
L
{\displaystyle L\,\!}
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
應用分部積分法 於最右邊項目，
δ
S
=
[
ε
⋅
∂
L
∂
q
˙
]
t
1
t
2
+
∫
t
1
t
2
(
ε
⋅
∂
L
∂
q
−
ε
⋅
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
邊界條件
ε
(
t
1
)
=
ε
(
t
2
)
=
d
e
f
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
δ
S
=
∫
t
1
t
2
ε
⋅
(
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
要求作用量泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
δ
S
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
δ
S
=
∫
t
1
t
2
ε
⋅
(
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!}
請注意，還沒有對廣義座標
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
完整限制 ）。這樣，根據變分法基本引理 ，可以得到拉格朗日方程式：
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!}
在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。
對應於廣義座標
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
廣義動量
p
k
{\displaystyle p_{k}\,\!}
共軛動量 ，定義為
p
k
=
d
e
f
∂
L
∂
q
˙
k
{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}
假設
L
{\displaystyle L\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
∂
L
∂
q
k
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!}
則廣義動量
p
k
=
d
e
f
∂
L
∂
q
˙
k
{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
循環座標 。舉例而言，如果用極座標系
(
r
,
θ
,
h
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!}
L
{\displaystyle L\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
角動量 。
Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7 .這領域最常引用的參考書。
列夫·朗道 and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0 .這本書一開始就講解最小作用量原理。Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC 35269891 , pages 840–842。
Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2 。非常好的古早書。
Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2 , pp. 254-275。
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cee0c85b006a45d487296b17782c626c041b79d)
![{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67eaae9b7f3d2a6e098f0bbf839c28a77b6955bd)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fabe04476c8943e5676ea94fb3b6aff8a476a3f)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066955b204ff91fa042d9a4a3469e9cb2c3fa5a4)
