巴拿赫-阿劳格鲁定理

賦範向量空間的對偶中,閉單位球是弱*拓撲的緊集

泛函分析和邻近数学分支中,巴拿赫-阿劳格鲁定理阿劳格鲁定理(英语:Banach–Alaoglu theoremAlaoglu's theorem)断言,任意赋范向量空间连续对偶空间中,单位球弱*拓扑中为[1]常见证明将弱*拓扑中的单位球看成一系列紧集之闭子集。根据吉洪诺夫定理,该些紧集的积拓扑空间仍为紧,故该球亦然。

定理在量子力学方面有应用。系统的可观测量是某个C*代数中的自伴算子,而量子态则是该代数上的线性泛函。此框架下,定理可以推出,每个量子态皆是纯态凸线性组合

历史

纳里奇(Narici)与贝肯斯坦(Beckenstein)书中,称阿劳格鲁定理为“非常重要的结果——也许是关于弱*拓扑唯一(the)最重要的事——回响传遍泛函分析。”[2]1912年,赫利(Helly)证明,闭区间上连续函数的空间 ,其连续对偶空间的单位球,为弱*可数紧英语countably compact[3]1932年,斯特凡·巴拿赫证明,任何可分赋范向量空间的连续对偶中,闭单位球必为弱*序列紧(他仅考虑了序列紧)。[3] 一般情况的证明,是由列奥尼达·阿劳格鲁英语Leonidas Alaoglu于1940年发表。纳里奇与贝肯斯坦书中,引述Pietsch [2007]指,至少有12个数学家可以主张自己证明此定理或某个重要前身。[2]

布尔巴基-阿劳格鲁定理(英语:Bourbaki–Alaoglu theorem)是尼古拉·布尔巴基将原定理推广[4][5]局部凸空间英语locally convex space对偶拓扑英语dual topology的结果。此定理亦称为巴拿赫-阿劳格鲁定理弱*紧定理(英语:weak-* compactness theorem),也常简称为阿劳格鲁定理(英语:Alaoglu theorem)。[2]

叙述

一般叙述

对于 上的向量空间 ,以 表示其代数对偶(所有线性泛函组成的空间)。两者由双线性求值映射 所联系,该映射由

 

定义。所以,三元组 (两个空间及一个映射)组成对偶系英语dual system,称为典范对偶系

 进一步具有拓扑,即为拓扑向量空间(TVS),则可分辨其上的函数连续与否,并定义其连续对偶 为代数对偶 中,连续泛函组成的子集。以 表示 上的弱*拓扑。类似有  上的弱*拓扑。

弱*拓扑又称逐点收敛拓扑,因为给定映射 和一映射 ,网 在弱*拓扑中收敛至 ,当且仅当对定义域中每点 ,函数值组成的网 收敛到 

阿劳格鲁定理[3]

 为任意拓扑向量空间(无需豪斯多夫局部凸英语locally convex), 为其连续对偶,则对于 中原点的任何邻域  ),其极集英语Polar set

 

 上的弱*拓扑英语weak topology[注 1] 中,必为紧集。

此外, 亦是 相对于典范对偶系 的极集,在拓扑空间 同样为紧。

赋范特例

 赋范向量空间,则原点邻域的极集,在对偶空间中为闭,且其范数有上界。特别地,若  的开(或闭)单位球,则 的极集为连续对偶空间 的闭单位球(对偶空间配备平常的对偶范数)。此时,定理化为以下特例:

巴拿赫-阿劳格鲁定理

 为赋范空间,则连续对偶空间 中,算子范数的闭单位球,为弱*拓扑中的紧集。

 的连续对偶 是无穷维赋范空间时, 中的闭单位球,不可能是平常范数拓扑的紧集。原因是,范数拓扑的闭单位球为紧,当且仅当空间为有限维(见F·里斯定理英语F. Riesz theorem)。此定理显示出,在同一个向量空间上,考虑不同的拓扑,到㡳有何用。

但注意,巴拿赫-阿劳格鲁定理并不推出弱*拓扑为局部紧,因为仅知闭单位球在强拓扑英语strong topology中为原点的邻域,在弱*拓扑中则不一定。弱*拓扑中,单位球的内部可能为空,除非空间为有限维。实际上,韦伊证明,局部紧豪斯多夫拓扑向量空间必为有限维。

证明

对偶理论证明

 的基域为 ,此处为实数域 复数域 。证明会用到极集英语polar set对偶系英语dual system连续线性算子的基本性质,可参见该些条目,以下亦会简单提及。

先列举一些常见定义和性质。当代数对偶 配备弱*拓扑 时,为一个豪斯多夫局部凸英语Locally convex topological vector space拓扑向量空间,记为 。空间 总是完备英语Complete topological vector space,但连续对偶 则不一定,此即证明需牵涉 的原因。具体而言,本证明用到的性质是:完备豪斯多夫空间的子集为紧,当且仅当其为闭,且完全有界英语Totally bounded space。注意  继承的子空间拓扑,等于弱*拓扑 。为验证此事,只需检查对每个  中的在其中一个拓扑中收敛到 ,当且仅当在另一个拓扑中亦然(因为两个拓扑结构相等,当且仅当其具有的收敛网完全一样)。

三元组 也是对偶对英语dual system(有双线性映射 ),但与 不同,前者一般而言未必是对偶系。以下定义极集时,会注明是对于何种对偶而言。

  原点的邻域,又设:

  •   相对 的极集;
  •   相对 二重极集英语Polar set
  •   相对 的极集。

极集的基本性质有 

下证巴拿赫-阿劳格鲁定理,分若干步:

  1. 先证 在拓扑 中为 的闭子集:设 ,又假设  中的网,在 中收敛到 。欲证 ,即 对任意 皆成立。因为在标量域 中, ,而每个值 皆属于( 的)闭子集 ,故网的极限 亦必在该子集中。于是 
  2. 其次,欲证 ,以推出 既是 的闭子集,亦是 的闭子集:有包含关系 ,因为连续线性泛函尤其是线性泛函。反之,欲证 ,设 满足 ,换言之线性泛函 在邻域 上有界,而泛函有界等价于连续,故 ,从而 ,即所求证。用第1步,结合交集  的子空间拓扑中为闭,推得 为闭。
  3. 欲证   拓扑而言是完全有界英语Totally bounded space子集:由二重极集定理英语bipolar theorem ,又因为邻域  中的吸收集 亦同。可以证明,此结论推出   而言的有界子集英语Bounded set (topological vector space)。由于 分辨英语dual system 各点, 的子集在 意义下有界,当且仅当在同样意义下完全有界英语Totally bounded space。所以,尤其有  意义下完全有界。
  4. 欲证 亦为  拓扑下的完全有界子集:已知 上, 拓扑等于  继承的子空间拓扑,结合第3步与“完全有界”的定义,即推出   拓扑下的完全有界子集。
  5. 最后,欲证   拓扑下的紧子集:因为 完备拓扑向量空间英语Complete topological vector space,又 为其闭(第2步)而完全有界(第4步)的子集,所以 为紧。定理证毕

较初等的证明

以下证明,仅用到集合论、点集拓扑、泛函分析的基本概念。拓扑方面,需要熟悉使用拓扑空间中的积拓扑、两者与逐点收敛的关联(为方便起见,证明中也会给出部分细节)。同时也要了解,线性泛函为连续,当且仅当其在原点的某个邻域上有界(见次线性泛函英语sublinear functional)。

设向量空间 的基域为 ,为实数系 复数系 两者之一。对任意实数 ,以

 

表示以原点为球心,半径为 的闭球。在 中,此为紧的闭集

极集的等价表示

由于  中原点的邻域,可知 亦是 吸收集,即对每个 ,皆有正实数 使 。以

 

表示 相对典范对偶系 的极集。将证明,此极集 ,与定理提到, 相对 的极集 ,两者相等。

 成立,是因为连续线性泛函按定义必是线性泛函。反之,欲证 ,设 满足 ,即线性泛函 在邻域 有界。所以 连续线性算子(换言之 ),从而有 ,即所求证。

至此,已证明 [注 2],余下的证明中,需理解笛卡儿积 与所有 的映射构成的空间 等同。仍需证明以下两个命题:

  1.   的闭子集。
    • 此处 配备的是逐点收敛拓扑,等同于积拓扑
  2.  
    • 其中 表示以原点 为球心, 为半径的闭球。本证明开始时,对每个 , 已定义 为使 的任意一个实数 。特别地,对于 ,可以选 

以上命题推出,  的闭子集,而由吉洪诺夫定理,该积空间为紧[注 3](因为每个闭球 皆为紧)。因为紧空间的闭子集仍为紧,所以有 为紧集,从而证毕巴拿赫-阿劳格鲁定理的主要结论。

极集为闭

以下证明前述命题1。代数对偶 总是积空间  的闭子集[注 4]。要证明  中为闭,祇需证明集合

 

 的闭子集,因为若有此结论,则  中两闭集之交,故亦为闭集。

 ,又设  中的网,在 中收敛到 。需要证明 。换言之,要证对每个  (或等价写成 )。由于在标量域 中, ,且每项 皆属于 中的闭子集 ,此网的极限 亦必属于该闭集,即 。证毕命题1。

上述证明可以推广,以论证以下命题:

 为任意集合, 为拓扑空间 闭子集,则在 的逐点收敛拓扑中, 为闭子集。

命题1为其特殊情况,取  便得。

极集包含于紧空间之积

以下证明前述命题2。对任意 ,以 表示到第 个坐标的投影英语Projection (set theory)。欲证 。换言之,欲对每个 ,证明 

于是选定 ,设 ;要证 。由 的定义, ,故 。因为 ,线性泛函 满足 ,所以由 ,可知

 

所以 ,即 ,证毕命题2。

序列版本

巴拿赫-阿劳格鲁定理有个特殊情况,对可分空间使用,并将“”换成“序列紧”。此时定理断言:

可分赋范向量空间的对偶中,闭单位球在弱*拓扑下是序列紧

可度量

实际上,可分空间的对偶的闭单位球上,弱*拓扑可度量,故紧与序列紧等价。

明确而言,设 为可分赋范向量空间,而 为连续对偶 中的闭单位球。根据 可分的定义,有某个可数稠密子集,列举为 。则下式定义一个度量:对于 

 

其中 表示  的对偶匹配,即将后一个元素代入到前一个元素求值。此度量下, 为序列紧之事,用类似阿尔泽拉-阿斯科利定理的对角线证法,即可证明。

由于证明本质为构造性(而非如一般情况,用到非构造性的选择公理),在偏微分方程学中,有时使用序列巴拿赫-阿劳格鲁定理,构造偏微分方程或变分问题的解。举例,若有某个可分赋范空间 ,其对偶上有泛函 ,欲求最小值,则常见策略是先构造序列 ,使 的泛函值趋向下确界,然后诉诸序列巴拿赫-阿劳格鲁定理,取出子序列 ,在弱*拓扑下收敛到极限 ,并确定 使 取最小值。最后一步通常要求 在弱*拓扑下为(序列)下半连续

考虑另一个例子,设 为实轴上,在无穷远处消失的连续函数组成的空间,则由里斯-马可夫表示定理 为实轴上全体有限拉东测度的空间。此时序列巴拿赫-阿劳格鲁定理等价于赫利选择定理英语Helly selection theorem

证明

下证序列版本的巴拿赫-阿劳格鲁定理。

对每个 ,设

 

以及

 

因为 是复平面的紧子集, 积拓扑中亦为紧(根据吉洪诺夫定理)。

 中的闭单位球 ,可以自然地看成 的子空间:考虑映射

 

其为单射,且对于 的弱*拓扑和 的积拓扑而言,是连续映射。在像集上,映射的逆也连续。

欲完成定理的证明,只需证明映射的像为闭集。给定网 中的网

 

等式 定义的泛函 ,也在 中。定理证毕。

推论

赋范空间

假设 赋范空间,则其连续对偶空间 具有对偶范数

  •  中的闭单位球为弱*紧[3]。相比之下,若 为无穷维,则其闭单位球在范数拓扑中必不为紧(F·里斯定理英语F. Riesz theorem)。
  • 巴拿赫空间自反,当且仅当其闭单位球在弱拓扑 下为紧。[3]
  •  自反巴拿赫空间,则 中每个有界序列,都有弱收敛子列。(此为对 某个弱可度量子空间应用巴拿赫-阿劳格鲁定理的结果。更简洁而言,是应用埃伯莱恩-什穆良定理英语Eberlein–Šmulian theorem。)举例,设 Lp空间 ,其中 。设  中函数组成的有界序列。则存在子列 ,且有 使得 对于 中的任意函数 成立,其中 。对于 ,没有相应的结论,因为 不自反。

希尔伯特空间

  • 任意希尔伯特空间中,闭有界集必然弱相对紧英语Relatively compact subspace,即其在弱拓扑的闭包为弱紧,故每个有界网必有弱收敛子网(希尔伯特空间皆自反)。
  • 哈恩-巴拿赫定理,范数拓扑中的闭凸集,在弱拓扑中也是闭集,故希尔伯特空间或自反巴拿赫空间中,凸有界集的范数闭包必为弱紧。
  •  为希尔伯特空间, 为其上有界算子的空间,则 可以配备以下两种不同的拓扑:一则超弱拓扑英语ultraweak topology,即 作为迹类算子空间 的对偶所具备的弱*拓扑;二则弱算子拓扑英语weak operator topology,是使形如 的映射皆连续的最弱的拓扑,此拓扑比超弱拓扑更弱。此定义下, 中的闭有界子集,关于弱算子拓扑为相对紧。所以,算子的有界序列必有某个弱极限点。其推论是, 配备弱算子拓扑或超弱拓扑时,满足海涅-博雷尔性质

与选择公理的关系

通常,会用到吉洪诺夫定理来证明巴拿赫-阿劳格鲁定理,所以要依赖于ZFC公理系统,尤其是选择公理。主流泛函分析中,许多结果皆依赖选择公理。然而,本定理在可分空间的情况(见§ 序列版本)并不依赖选择公理,该情况下有构造性证明。对于不可分的情况,超滤子引理英语ultrafilter Lemma比选择公理严格弱,但亦足以证明巴拿赫-阿劳格鲁定理。反之,巴拿赫-阿劳格鲁定理也推出超滤子引理,所以两者等价。

参见

  1. ^ 更明确地说,子集 称为“弱*拓扑中的紧集”,意思是若 配备弱*拓扑,而子集 从空间 继承子空间拓扑,则 紧空间。将“紧集”换成其他性质(如“完全有界英语totally bounded”)亦同。
  2. ^  表示 原有的拓扑,则等式 说明, 的极集 ,仅取决于  ,其余拓扑结构 可忽略不理。更明确说,假设  上另一个向量空间拓扑,使得 为拓扑向量空间,且集合  仍为原点的邻域。记 的连续对偶为 ,并记 相对 的极集为
     
    (此定义下, 祇是旧的 。)则 ,因为两者分别等于 。换言之,极集 的定义条件中,“ 连续对偶空间 子集”一项可以无视,因为对所得的线性泛函集合毫无影响。然而,若  上另一个向量空间拓扑 is a TVS topology on  ,令 不是 原点的邻域,则 相对 的极集 ,不保证等于 ,所以不能如此无视拓扑 
  3. ^ 由于每个 也是豪斯多夫空间,只用到吉洪诺夫定理的紧豪斯多夫情况,便足以说明 为紧。该特殊情况等价于超滤子引理英语ultrafilter lemma,而比选择公理严格弱。
  4. ^ “线性泛函”的要求,可以写成许多条等式如 合取。每个要求皆是闭条件,即其对应的子集为闭集。而闭集的任意交仍为闭,所以线性泛函组成的集合为闭集。

参考资料

  1. ^ Rudin 1991, Theorem 3.15.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Narici & Beckenstein 2011,第235-240页.
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Narici & Beckenstein 2011,第225-273页.
  4. ^ Köthe 1969, Theorem (4) in §20.9.
  5. ^ Meise & Vogt 1997, Theorem 23.5.