柯西乘積

在數學上，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積，是指兩組數列 $a_{n},b_{n}$ 的離散卷積。

c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.

該數列乘積被認為是自然數 $R[\mathbb {N} ]$ 的半群環的元素。

級數

一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數（不需要收斂） $a_{n},b_{n}$ ：

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},

一般地，對於實數和複數，柯西乘積定義為如下的離散卷積形式：

\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},

這裡

c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots

「形式」是指我們對級數運算時不考慮是否收斂，參見形式冪級數。

人們希望，通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推，得到無窮級數

\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}

等於如下乘積：

\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)

就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。

在充分良態的情況下，上述式子成立。而更重要的一點，儘管這兩個無窮級數可能不收斂，它們的柯西乘積仍可能存在。

示例

有窮級數

對於 $i>n$ 、 $i>m$ ，有 $x_{i}=0$ ， $y_{i}=0$ 即為有窮級數，則 $\sum x$ 和 $\sum y$ 柯西乘積可以展開為 $(x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})$ ，因此可以直接計算乘積。

無窮級數

對某些 $a,b\in \mathbb {R}$ ，構造 $x_{n}=a^{n}/n!\,$ 和 $y_{n}=b^{n}/n!\,$ ，由定義和二項式展開可知：

C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}

形式上， $\exp(a)=\sum x$ ， $\exp(b)=\sum y$ ，我們已表明 $\exp(a+b)=\sum C(x,y)$ 。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積，（見下面的證明），因此我們就可證明這個表達式對於 $a,b\in \mathbb {R}$ 有 $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$

另外一個例子，令 $x(n)=1$ （ $n\in \mathbb {N}$ ），則 $C(x,x)(n)=n+1$ 對所有 $n\in \mathbb {N}$ 成立，則柯西乘積 $\sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ ，該乘積不收斂。

收斂和梅爾滕斯定理

令x, y為實數數列，弗蘭茲·梅爾滕斯（Franz Mertens）提出，如果級數 $\sum y$ 收斂到Y，且級數 $\sum x$ 絕對收斂到X，則他們的柯西乘積 $\sum C(x,y)$ 收斂到XY。

對於兩個級數為條件收斂時，結論未必成立。如下反例所示：

例子

考慮下述兩交錯級數：

a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,

它們都是收斂的（其絕對值構成的級數因比較審斂法和調和級數的發散性而發散）。其柯西乘積的項由下式給出：

c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}

其中整數 $n \geq 0$ 。因為對於所有 $k \in {0, 1, ..., n$ } 我們都有不等式 $k + 1 \leq n + 1$ 及 $n - k + 1 \leq n + 1$ ，故對分母中的根式有 $\sqrt (k + 1)(n - k + 1) \leq n +1$ 。因此，由於共有 $n + 1$ 個被加項，故對於所有的整數 $n \geq 0$ 有

|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1

因此， $c n$ 在 $n \to \infty$ 時並不趨於 0，級數 $\sum c n$ 發散（項測試）。

梅爾滕斯定理的證明

令 $X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}$ ， $Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}$ ， $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)$ ， $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}$ (重排後)。

則 $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}$ ，對任意給定的 ε > 0，因為 $\sum x$ 絕對收斂， $\sum y$ 收斂，因此存在一個整數N，對於任意n ≥ N $|Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}$ ，和存在一個正整數M，對於所有 $n\geq M$ ，有 $|x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon /4}{N\sup |Y_{n}-Y|+1}}$ （由級數絕對收斂，則式子收斂到0），同樣的，存在一個整數L ，如果有 $n\geq L$ ，則 $|X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}$ 。