費馬大定理

關於以皮埃爾·德·費馬命名的其他定理，請見「費馬定理」。

費馬大定理（亦名費馬最後定理，法語：Le dernier théorème de Fermat，英語：Fermat's Last Theorem），其概要為：

當整數$n>2$時，關於$x$, $y$, $z$的不定方程式

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

無正整數解。

以上陳述由17世紀法國數學家費馬提出，被稱為「費馬猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬最後定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊沒有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成定理。在衝擊這個數論世紀難題的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得包括邵逸夫獎在內的數十個獎項。

歷史

丟番圖拉丁文譯本第11卷第8命題

1637年，費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：

“ 將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信我發現一種美妙的證法，可惜這裡的空白處太小，寫不下。 ”

畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富數論的內容，推動數論的發展。

歐拉在1770年的時候，證明$n=3$時定理成立。

1825年，高斯和熱爾曼同時獨立證明費馬定理5次冪。

費馬大定理提出之後的二百年內，對很多不同的特定的$n$，費馬大定理被證明。但對於一般情況，人們仍一籌莫展。

1908年，德國人「保羅·弗里德里希·沃爾夫斯凱爾」宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內，第一個證明該定理的人，吸引不少人嘗試並遞交他們的「證明」。在一戰之後，馬克大幅貶值，該獎金的吸引力也大幅下降。

1983年，格爾德·法爾廷斯證明莫德爾猜想。作為推論，對於給定的整數$n>2$，至多存在有限組互質的$a,b,c$使得$a^{n}+b^{n}=c^{n}$。

1986年，格哈德·弗賴（Gerhard Frey）提出「ε-猜想」：若存在$a,b,c$使得$a^{n}+b^{n}=c^{n}$，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線

$y^{2}=x\left(x-a^{n}\right)\left(x+b^{n}\right)$

會是谷山-志村猜想的一個反例。格哈德·弗賴的猜想隨即被肯尼斯·阿蘭·黎貝證實。此猜想顯示費馬大定理與橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995年，安德魯·懷爾斯和理查·泰勒在一特例範圍內證明谷山志村猜想，弗賴的橢圓曲線剛好在這一特例範圍內，從而證明費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用七年時間，在不為人知的情況下，得出證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈他的證明，並瞬即成為世界頭條。但在審查證明的過程中，專家發現一個極為嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒之後用近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部分的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的《數學年刊》（Annals of Mathematics）之上。

在懷爾斯證明之前，沃爾夫斯凱爾委員會（Wolfskehl committee）收到數千個不正確的證明，所有紙張疊加達到約10英尺（3米）的高度。僅在第一年（1907—1908年）就提出621個證明，但到了20世紀70年代，各家證明方法的提出已經降至每個月大約3-4個。根據沃爾夫斯凱爾委員會評論家施里希廷（F. Schlichting）的說法，大多數證明都是基於學校教授的基本方法，並且提交證明的人大多「有技術教育但職業生涯失敗」。用數學歷史學家霍華德·伊夫斯的話來說，「費馬大定理在數學裡有一個特殊的現象，即在於它是錯誤證明數量最多的數學題。」

參見

• 索菲熱爾曼質數
• 維費里希質數
• 沃爾-孫-孫質數
• 沃爾斯滕霍爾姆質數
• 數學猜想列表
• 費馬-卡塔蘭猜想

參考資料

書籍

• Singh, Simon. Fermat's enigma : the quest to solve the world's greatest mathematical problem. New York: Walker. 1997. ISBN 0-8027-1331-9. 
• Aczel, Amir. Fermat's last theorem : unlocking the secret of an ancient mathematical problem. New York: Four Walls Eight Windows. 1996. ISBN 978-1-56858-077-7. 

論文

• Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF). Annals of Mathematics 141. 1995: 443–551. （原始內容 (PDF)存檔於2011-05-10）. 
• R.Taylor; A.Wiles. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141. 1995: 553–572. （原始內容存檔於2004-12-04）. 
• Gerd Faltings. The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles (PDF). Notices of the AMS. 1995-07. （原始內容存檔 (PDF)於2019-09-12）. 
• Charles Daney. The Mathematics of Fermat's Last Theorem. （原始內容存檔於2004-08-03）. 
• J J O'Connor; E F Robertson. Fermat's last theorem. （原始內容存檔於2001-08-04）.  The history of the problem.
• David Shay. Fermat's last theorem. （原始內容存檔於2007-02-02）.  The story and the history of the problem.