AKS質數測試
AKS質數測試(又稱Agrawal–Kayal–Saxena質數測試和Cyclotomic AKS test)是一個決定型質數測試演算法 ,由三個來自印度坎普爾理工學院的電腦科學家,曼寧德拉·阿格拉瓦爾、尼拉吉·卡亞爾和尼汀·沙克謝納,在2002年8月6日發表於一篇題為質數屬於P的論文。[1]作者們因此獲得了許多獎項,包含了2006年的哥德爾獎和2006年的富爾克森獎。這個演算法可以在多項式時間之內,決定一個給定整數是質數或者合數。
重要性
AKS最關鍵的重要性在於它是第一個被發表的一般的、多項式的、確定性的和無仰賴的質數判定演算法。先前的演算法至多達到了其中三點,但從未達到全部四個。
- AKS演算法可以被用於檢測任何一般的給定數字是否為質數。很多已知的高速判定演算法只適用於滿足特定條件的質數。例如,盧卡斯-萊默檢定法僅對梅森質數適用,而Pépin測試僅對費馬數適用。
- 演算法的最長運行時間可以被表為一個目標數字長度的多項式。ECPP和APR能夠判斷一個給定數字是否為質數,但無法對所有輸入給出多項式時間範圍。
- 演算法可以確定性地判斷一個給定數字是否為質數。隨機測試演算法,例如米勒-拉賓檢定和Baillie–PSW,可以在多項式時間內對給定數字進行校驗,但只能給出機率性的結果。
- AKS演算法並未「仰賴」任何未證明猜想。一個反例是確定性米勒檢定:該演算法可以在多項式時間內對所有輸入給出確定性結果,但其正確性卻基於尚未被證明的廣義黎曼猜想。
概念
AKS質數測試主要是基於以下定理:整數n (≥ 2)是質數,若且唯若
這個同餘多項式對所有與n互質的整數a均成立。 這個定理是費馬小定理的一般化,並且可以簡單的使用二項式定理跟二項式係數的這個特徵:
- ,對任何 ,若且唯若 n 是質數
來證明出此定理。
雖然說關係式 (1) 基本上構成了整個質數測試,但是驗證花費的時間卻是指數時間。因此,為了減少計算複雜度,AKS改為使用以下的同餘多項式:
這個多項式與存在多項式f與g,令:
意義是等同的。
這個同餘式可以在多項式時間之內檢查完畢。這裡我們要注意所有的質數必定滿足此條件式(令g = 0則 (3) 等於 (1),因此符合n必定是質數)。 然而,有一些合數也會滿足這個條件式。有關AKS正確性的證明包含了推導出存在一個夠小的r以及一個夠小的整數集合A,令如果此同餘式對所有A裡面的整數都滿足,則n必定為質數。
歷史以及運算時間
在上文參照的論文的第一版本中,作者們證明了演算法的漸近時間為O 。換言之,演算法使用少於n的二進制數字長度的十二次方。但是,論文證明的時間上界卻過於寬鬆;事實上,一個被普遍相信的關於索菲熱爾曼質數分布的假設如果為真,則會立即將最壞情況減至O 。
在這一發現後的幾個月中,新的變體陸續出現(Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003)並依次提高了演算法的速度(以改進幅度為序)。由於這些變體的出現,Crandall和Papadopoulos在其科學論文「AKS-類質數測試的實現」(2003年三月發表)中將其稱為演算法的「AKS-類」。
出於對這些變體和其他回覆的回應,論文「質數屬於P」稍後被進行了更新,新版本包括了一個AKS演算法的正規公式化表述和其正確性證明。(這一版本在數學年刊上發表。)雖然基本思想沒有變化, 卻被採用了新方法進行選擇,而正確性證明也變得更加緊緻有序。與舊證明依賴於許多不同的方法不同,新版本幾乎只依賴於有限體上的分圓多項式的特徵。新版本同時也優化了時間複雜度的邊界到O 。通過篩法獲得的其他結果可以將其進一步簡化到O 。
在2005年,Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一個AKS的變體,可以在 次操作內完成測試( 是被測試數)。對於原演算法的 邊界而言,這是一個顯著的改進。[2]
演算法
整個演算法的操作如下:[1]
- 輸入:整數 n > 1
- 若存在整數a > 0 且b > 1 ,令 n = ab ;則輸出合數
- 找出最小的 r 令 ordr(n) > log2(n).
- 若 對某些a ≤ r,1 < gcd(a,n) < n,輸出合數。(gcd是指最大公因數)。
- 若 n ≤ r, 輸出質數。
- 對 a = 1 到 的所有數,
- 如果 (X+a)n≠ Xn+a (mod Xr − 1,n), 輸出合數。
- 輸出 質數。
這裡的 ordr(n)是n mod r的階。 另外,這裡的log 代表以二為底的對數, 則是r的歐拉函數。
下面說明若n是個質數,那麼演算法總是會返回質數:由於n是質數,步驟1和3永遠不會返回合數。步驟5也不會返回合數,因為(2)對所有質數n為真。因此,演算法一定會在步驟4或6返回質數。
對應地,如果n是合數,那麼演算法一定返回合數:如果演算法返回質數,那麼則一定是從步驟4或6返回。對於前者,因為n ≤ r, n必然有因子a ≤ r符合1 < gcd(a,n) < n,因此會返回合數。剩餘的可能性就是步驟6,在文章[1]中,這種情況被證明不會發生,因為在步驟5中檢定的多個等式可以確保輸出一定是合數。
例子:n = 31為質數
- 輸入:整數n = 31 > 1。
若存在整數a > 0 且b > 1 ,令 n = ab ;則輸出「合數」。 for ( b = 2; b < = log2(n); b + + ){ a = n1/b; If ( a是整數 ) 輸出「合數」; } // a = n1/2...n1/4 = {5.568, 3.141, 2.360},計算結果不是整數
找出最小的 r 令 ordr(n) > log2(n)。 nextR = True; r = 1; while ( nextR = = True ) { r + + ; nextR = False for ( k = 1;(!nextR) &&k ≤ log2(n); k + + ){ nextR = (nk % r = = 1 || nk % r = = 0); } } // 計算結果為:r = 29
若 對某些a ≤ r,1 < gcd(a,n) < n,輸出「合數」。 for ( a = r; a > 1; a-- ){ If ( 1 < gcd(a,n) < n ) 輸出「合數」; } // gcd(29,31) = 1, gcd(28,31) = 1, ..., gcd(2,31) = 1,計算結果為找不到符合的a使得1 < gcd(a,n) < n為真
若 n ≤ r, 輸出「質數」。 If ( n ≤ r ) 輸出「質數」; // 31 > 29,計算結果n比r大
對 a = 1 到 的所有數, 如果 (X + a)n≠ Xn + a (mod Xr − 1,n), 輸出「合數」。 for ( a = 1; a ≤ , a + + ) if ( ((X + a)n-(Xn + a)) % (Xr−1,n) ≠ 0 ) 輸出「合數」。 } / * * * (x + a)31 % (x29-1,31) = (((x + a)29 % (x29-1,31)) * (x + a)2 % 31) % (x29-1,31) = ((1 + a29 + 29a28x + (406 % 31)a27x2 + (3654 % 31)a26x3 + (23751 % 31)a25x4 + (118755 % 31)a24x5 + (475020 % 31)a23x6 + (1560780 % 31)a22x7 + (4292145 % 31)a21x8 + (10015005 % 31)a20x9 + (20030010 % 31)a19x10 + (34597290 % 31)a18x11 + (51895935 % 31)a17x12 + (67863915 % 31)a16x13 + (77558760 % 31)a15x14 + (77558760 % 31)a14x15 + (67863915 % 31)a13x16 + (51895935 % 31)a12x17 + (34597290 % 31)a11x18 + (20030010 % 31)a10x19 + (10015005 % 31)a9x20 + (4292145 % 31)a8x21 + (1560780 % 31)a7x22 + (475020 % 31)a6x23 + (118755 % 31)a5x24 + (23751 % 31)a4x25 + (3654 % 31)a3x26 + (406 % 31)a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31) = ((1 + a29 + 29a28x + 3a27x2 + 27a26x3 + 5a25x4 + 25a24x5 + 7a23x6 + 23a22x7 + 9a21x8 + 21a20x9 + 11a19x10 + 19a18x11 + 13a17x12 + 17a16x13 + 15a15x14 + 15a14x15 + 17a13x16 + 13a12x17 + 19a11x18 + 11a10x19 + 21a9x20 + 9a8x21 + 23a7x22 + 7a6x23 + 25a5x24 + 5a4x25 + 27a3x26 + 3a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31) = ((1 + 2 * 29 + 3) % 31)a2 + a31 + ((2 + 29) % 31)ax + ((29 + 2 * 1) % 31)a30x + x2 + ((3 + 2 * 29 + 1) % 31)a29x2 + ((27 + 2 * 3 + 29) % 31)a28x3 + ((5 + 2 * 27 + 3) % 31)a27x4 + ((25 + 2 * 5 + 27) % 31)a26x5 + ((7 + 2 * 25 + 5) % 31)a25x6 + ((23 + 2 * 7 + 25) % 31)a24x7 + ((9 + 2 * 23 + 7) % 31)a23x8 + ((21 + 2 * 9 + 23) % 31)a22x9 + ((11 + 2 * 21 + 9) % 31)a21x10 + ((19 + 2 * 11 + 21) % 31)a20x11 + ((13 + 2 * 19 + 11) % 31)a19x12 + ((17 + 2 * 13 + 19) % 31)a18x13 + ((15 + 2 * 17 + 13) % 31)a17x14 + ((15 + 2 * 15 + 17) % 31)a16x15 + ((17 + 2 * 15 + 15) % 31)a15x16 + ((13 + 2 * 17 + 15) % 31)a14x17 + ((19 + 2 * 13 + 17) % 31)a13x18 + ((11 + 2 * 19 + 13) % 31)a12x19 + ((21 + 2 * 11 + 19) % 31)a11x20 + ((9 + 2 * 21 + 11) % 31)a10x21 + ((23 + 2 * 9 + 21) % 31)a9x22 + ((7 + 2 * 23 + 9) % 31)a8x23 + ((25 + 2 * 7 + 23) % 31)a7x24 + ((5 + 2 * 25 + 7) % 31)a6x25 + ((27 + 2 * 5 + 25) % 31)a5x26 + ((3 + 2 * 27 + 5) % 31)a4x27 + ((29 + 2 * 3 + 27) % 31)a3x28 = a31 + x2 (x31 + a) % (x29-1,31) = a + x2 (a31 + x2)-(a + x2) = a31-a (131-1) % 31 = 0, (231-2) % 31 = 0, (331-3) % 31 = 0, ..., (2631-26) % 31 = 0,計算結果為找不到符合的a使得(X + a)n≠ Xn + a (mod Xr − 1,n)為真 * * * /
輸出「質數」。 31必為質數。
註釋
- ^ 1.0 1.1 1.2 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.
- ^ 亨德里克·倫斯特拉 and Carl Pomerance, "Primality Testing with Gaussian Periods (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", preliminary version July 20, 2005.
延伸閱讀
- Dietzfelbinger, Martin. Primality testing in polynomial time. From randomized algorithms to ``PRIMES is in P. Lecture Notes in Computer Science 3000. Berlin: 施普林格科學+商業媒體. 2004. ISBN 3-540-40344-2. Zbl 1058.11070.
外部連結
- 埃里克·韋斯坦因. AKS Primality Test. MathWorld.
- R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
- Article by Borneman, containing photos and information about the three Indian scientists(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) (PDF)
- Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- The Prime Facts: From Euclid to AKS(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), by Scott Aaronson (PDF)
- The PRIMES is in P little FAQ(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) by Anton Stiglic
- 2006 Gödel Prize Citation
- 2006 Fulkerson Prize Citation(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- The AKS "PRIMES in P" Algorithm Resource(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Grime, Dr. James. Fool-Proof Test for Primes - Numberphile (video). 布雷迪·哈蘭. [2018-05-10]. (原始內容存檔於2018-03-23). [the video describes the exponential time relation (1), which it calls AKS]