在数学中,階乘冪(英語:Factorial power)是基于自然數数列积的一种运算,分為遞進階乘(英語:Rising factorial)和遞降階乘(英語:Falling factorial),或稱上升階乘和下降階乘,
定义
遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。
由里奧·珀赫哈默尔引进的珀赫哈默尔符號(Pochhammer symbol)是常用的一种,分別為 与 。
一种较为少见的写法将遞進階乘記作 。
葛立恒、高德纳与奧倫·帕塔什尼克在《具体数学》一书中,則引进符號 与 。
遞進階乘
在组合学和特殊函数理论中,遞進階乘用于表达上升自然數数列的积,定义为
-
遞降階乘
在组合学中也常用遞降階乘:
-
另外,值得一提的是遞降階乘实际上是排列 ,详见排列。
两者的关系
遞進階乘与遞降階乘,两者之间的关系为:
-
它們与阶乘的关系为:
-
擴展
零次幂
零次幂的遞進階乘与遞降階乘都定義為空積 1 :
- 。
实数
運用伽玛函数,階乘冪的定義域可以扩展到实数。
遞進階乘的定义變為
-
遞降階乘则为
-
特性
遞進階乘与遞降階乘都能以二项式系数形式表达:
-
-
于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。
显然,遞進階乘与遞降階乘作为 n 个连续整数的积,它定能被 n 整除,即
- ;
- 。
當 n=4 ,遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个完全平方数减1,即
- ;
- 。
遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似二项式定理的规则:
-
-
其中系数为二项式系数。
因为遞降階乘是多项式环的基础,我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合:
-
等式右边的系数则为二项式系数。
一般化
与亚微积分的關係
差分方程里常使用遞降階乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似,不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中,遞降階乘 替代微分中的 例如:
-
与
-
这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。
程序实现
Mathematica
[1]
参考文献
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
- Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .
外部链接