此條目介紹的是在變量的所有排列下不變的函數。關於向量空間元素上的對稱函數,請見「
對稱張量」。
數學中,若n元函數無論變量順序如何,值都相同,就稱之為對稱函數。例如,二元函數,當且僅當,f是對稱函數。最常見的對稱函數類型是多項式函數,由對稱多項式給出。
一個相關概念是交錯多項式,其在變量互換後只有符號改變。除多項式函數外,作為多個向量的函數的張量也可以是對稱的,實際上向量空間V上的對稱k-向量空間同構於V上的k次齊次多項式空間。對稱函數同奇函數與偶函數是不同的概念。
對稱化
給定任意一個n元函數f,其在阿貝爾群中取值。可對參數的所有排列求和,構造得對稱函數。同樣,對偶置換求和、再減去奇置換的求和,就可構造出反對稱函數。這些運算不可逆,而且很可能使得非平凡的f變為等於0的常數函數。若已知f的對稱化與反對稱化,則只能恢復二元的f,且阿貝爾群允許除以2(加倍的逆),這時f等於其對稱化與反對稱化之和的一半。
例子
- 考慮實值函數
由定義,n元對稱函數滿足以下性質
一般來說,變量的排列不影響函數值。本例中
以此類推,適用於 的所有排列。
- 考慮函數
若x、y互換,函數變為
結果與原 相同。
- 再考慮函數
若x、y互換,函數變為
若 ,這樣就和原函數不一樣了,因此是非對稱函數。
應用
另見
參考文獻