对称函数

数学中，若n元函数无论变量顺序如何，值都相同，就称之为对称函数。例如，二元函数 $f\left(x_{1},x_{2}\right)$ ，当且仅当 $\forall x_{1},\ x_{2},\ \left(x_{1},x_{2}\right),\ \left(x_{2},x_{1}\right)\in {\rm {dom}}(f),\ f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)$ ，f是对称函数。最常见的对称函数类型是多项式函数，由对称多项式给出。一个相关概念是交错多项式，其在变量互换后只有符号改变。除多项式函数外，作为多个向量的函数的张量也可以是对称的，实际上向量空间V上的对称k-向量空间同构于V上的k次齐次多项式空间。对称函数同奇函数与偶函数是不同的概念。

对称化

给定任意一个n元函数f，其在阿贝尔群中取值。可对参数的所有排列求和，构造得对称函数。同样，对偶置换求和、再减去奇置换的求和，就可构造出反对称函数。这些运算不可逆，而且很可能使得非平凡的f变为等于0的常数函数。若已知f的对称化与反对称化，则只能恢复二元的f，且阿贝尔群允许除以2（加倍的逆），这时f等于其对称化与反对称化之和的一半。

例子

考虑实值函数 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).$ 由定义，n元对称函数满足以下性质 $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}$ 一般来说，变量的排列不影响函数值。本例中 $(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})$ 以此类推，适用于 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 的所有排列。
考虑函数 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$ 若x、y互换，函数变为 $f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},$ 结果与原 $f(x,y)$ 相同。
再考虑函数 $f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.$ 若x、y互换，函数变为 $f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.$ 若 $a\neq b$ ，这样就和原函数不一样了，因此是非对称函数。