對稱函數

數學中,若n函數無論變量順序如何,值都相同,就稱之為對稱函數。例如,二元函數,若且唯若f是對稱函數。最常見的對稱函數類型是多項式函數,由對稱多項式給出。 一個相關概念是交錯多項式,其在變量互換後只有符號改變。除多項式函數外,作為多個向量的函數的張量也可以是對稱的,實際上向量空間V上的對稱k-向量空間同構V上的k齊次多項式空間。對稱函數同奇函數與偶函數是不同的概念。

對稱化

給定任意一個n元函數f,其在阿貝爾群中取值。可對參數的所有排列求和,構造得對稱函數。同樣,對偶置換求和、再減去奇置換的求和,就可構造出反對稱函數。這些運算不可逆,而且很可能使得非平凡的f變為等於0的常數函數。若已知f的對稱化與反對稱化,則只能恢復二元的f,且阿貝爾群允許除以2(加倍的逆),這時f等於其對稱化與反對稱化之和的一半。

例子

  • 考慮實值函數   由定義,n元對稱函數滿足以下性質   一般來說,變量的排列不影響函數值。本例中   以此類推,適用於 的所有排列。
  • 考慮函數  xy互換,函數變為   結果與原 相同。
  • 再考慮函數  xy互換,函數變為   ,這樣就和原函數不一樣了,因此是非對稱函數。

應用

U-統計量

統計學中,對k-樣本統計量進行自助的對稱化,可得n元對稱函數的n樣本統計量,稱作U-統計量。例子如樣本均值樣本方差

另見

參考文獻

  • F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
  • Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.