一元二次方程

单变量中的多项式方程,其中变量的最高指数为2

一元二次方程式是只含有一個未知數,並且未知數的最高次數是二次的多項式方程

例如, 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是

其中,是二次項,是一次項,是常數項。是一個重要條件,否則就不能保證該方程未知數的最高次數是二次。當然,在強調了是一元二次方程之後,也可以省略不寫。另外,一元二次方程式有時會出現複數根。

歷史

古巴比倫留下的陶片顯示,在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年,中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum中,首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲

據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在着爭議。這個求解規則是(引自婆什迦羅第二):

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的系數的四倍;在方程的兩邊同時加上一次項未知數的系數的平方;然後在方程的兩邊同時開二次方根。

將其轉化為數學語言:解關於 的方程  

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的系數的四倍,即[1] ,得  

在方程的兩邊同時加上一次項未知數的系數的平方,即 ,得  

然後在方程的兩邊同時開二次方根,得  

解法

阿貝爾指出,任意一元二次方程都可以根據   三個系數,通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程的

一般來說,一元二次方程有兩個根。

因式分解法

把一個關於   一元二次方程變形成一般形式   後,如果   能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積,則一般用因式分解來解這個一元二次方程。

將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後(一般可用十字相乘法),分別令每一個因式等於零,可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程,得到的兩個解都是原方程的解。

如果一元二次方程 存在兩個實根 ,那麼它可以因式分解為 

例如,解一元二次方程 時,可將原方程左邊分解成 ,所以 ,可解得 

公式解法

對於 ,若 ,則它的兩個不等實數根可以表示為

 

 ,則它的兩個相等實數根可以表示為

 

 ,則它的兩個共軛複數根可以表示為

 


公式解的證明

公式解可以由配方法得出。

已知關於   的一元二次方程  

①移項,得:

 

②二次項系數化為  ,得:

 

③配方,得:

 

 

因為  ,所以

 ,則它的兩個不等實數根可以表示為

 

 ,則它的兩個相等實數根可以表示為

 

 ,則它的兩個共軛複數根可以表示為

 

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的系數為有理數實數複數或是任意數體中適用。

公式中的根式 

應該理解為「如果存在的話,兩個自乘後為 的數當中任何一個」。在某些數體中,有些數值沒有平方根

根的判別式

對於實系數一元二次方程  稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式,一元二次方程的根有三種可能的情況:

  • 如果 ,則這個一元二次方程有兩個不等的實數根。如果系數都為有理數,且 是一個完全平方數,則這兩個根都是有理數,否則這兩個根至少有一個是無理數
  • 如果 ,則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。這兩個等根  
  • 如果 ,則這個一元二次方程有兩個不等的複數根,兩根互為共軛複數。這時兩根分別為 ,其中  

非實系數一元二次方程

即系數為非實數時的一元二次方程,將系數擴展到複數域內,此時要注意根的判別式不適用於非實系數一元二次方程

一元二次方程的根與系數的關係

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與系數的關係。  

圖像解法

 
 ,則該函數與x軸相交(有兩個交點)
 ,則該函數與x軸相切(有且僅有一個交點)
 ,則該函數與x軸相離(沒有交點)

一元二次方程 的根的幾何意義是二次函數 的圖像(為一條拋物線)與   軸交點的坐標,即二次函數的零點

 
 的解是  交點的X座標

另外一種解法是把一元二次方程 化為  的形式。

則方程 的根,就是函數  交點的橫坐標。

通過作圖,可以得到一元二次方程根的近似值。

計算機法

在使用計算機解一元二次方程時,跟人手工計算相似,大部分情況下也是根據以下公式去解 可以進行符號運算的程序,比如Mathematica,可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

參見

參考資料

  1. ^ Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. (原始內容存檔於2006-02-08) (英語). 

外部連結