一元二次方程式

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一元二次方程式是只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次的多項式方程式。

例如，$x^{2}-3x+2=2$，$\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0$，$t^{2}-3=0$ 等都是一元二次方程式。

一元二次方程式的一般形式是$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$

其中，$ax^{2}$是二次項，$bx$是一次項，$c$是常數項。$a\neq 0$是一個重要條件，否則就不能保證該方程式未知數的最高次數是二次。當然，在強調了是一元二次方程式之後，$a\neq 0$也可以省略不寫。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。

歷史

古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年（2000 BC）古巴比倫的數學家就能解一元二次方程式了。在大約公元前480年，中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。

據說施里德哈勒是最早給出二次方程式的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是（引自婆什迦羅第二）：

在方程式的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程式的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程式的兩邊同時開二次方根。

將其轉化為數學語言：解關於$x$的方程式 $ax^{2}+bx=-c$

在方程式的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍，即$4a$，得　$4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$

在方程式的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方，即$b^{2}$，得　$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}$

然後在方程式的兩邊同時開二次方根，得　$2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}$

解法

阿貝爾指出，任意一元二次方程式都可以根據$a$、$b$、$c$三個係數，通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程式的根。

一般來說，一元二次方程式有兩個根。

因式分解法

把一個關於 $x$ 一元二次方程式變形成一般形式 $ax^{2}+bx+c=0$ 後，如果 $ax^{2}+bx+c=0$ 能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程式。

將方程式左邊分解成兩個一次因式的乘積後（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等於零，可以得到兩個一元一次方程式。解這兩個一元一次方程式，得到的兩個解都是原方程式的解。

如果一元二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$存在兩個實根$x_{1},x_{2}$，那麼它可以因式分解為$a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$。

例如，解一元二次方程式$x^{2}-3x+2=0$時，可將原方程式左邊分解成$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$，所以$x-1=0\quad x-2=0$，可解得$x_{1}=1\quad x_{2}=2$

公式解法

對於$ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$，若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0$，則它的兩個不等實數根可以表示為

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$；

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0$，則它的兩個相等實數根可以表示為

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}$；

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0$，則它的兩個共軛複數根可以表示為

$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$。

公式解的證明

公式解可以由配方法得出。

已知關於 $x$ 的一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0$

①移項，得：

$ax^{2}+bx=-c$；

②二次項係數化為 $1$，得：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$；

③配方，得：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}$，

${\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$；

因為 $a\neq 0$，所以

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0$，則它的兩個不等實數根可以表示為

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$；

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0$，則它的兩個相等實數根可以表示為

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}$；

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0$，則它的兩個共軛複數根可以表示為

$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$。

一般化

一元二次方程式的求根公式在方程式的係數為有理數、實數、複數或是任意數體中適用。

公式中的根式${\sqrt {b^{2}-4ac}}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為$b^{2}-4ac$的數當中任何一個」。在某些數體中，有些數值沒有平方根。

根的判別式

對於實係數一元二次方程式$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$，$\Delta =b^{2}-4ac$稱作一元二次方程式根的判別式。根據判別式，一元二次方程式的根有三種可能的情況：

• 如果$\Delta >0$，則這個一元二次方程式有兩個不等的實數根。如果係數都為有理數，且$\Delta$是一個完全平方數，則這兩個根都是有理數，否則這兩個根至少有一個是無理數。

• 如果$\Delta =0$，則這個一元二次方程式有兩個相等的實數根。這兩個等根 $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$

• 如果$\Delta <0$，則這個一元二次方程式有兩個不等的複數根，兩根互為共軛複數。這時兩根分別為$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$，其中 ${\text{i}}={\sqrt {-1}}$。

非實係數一元二次方程式

即係數為非實數時的一元二次方程式，將係數擴展到複數域內，此時要注意根的判別式不適用於非實係數一元二次方程式。

一元二次方程式的根與係數的關係

根據韋達定理可以找出一元二次方程式的根與係數的關係。$$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$$$$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$$

圖像解法

${\color {Red}{}\Delta >0}$，則該函數與x軸相交（有兩個交點）
${\color {Blue}{}\Delta =0}$，則該函數與x軸相切（有且僅有一個交點）
${\color {Green}{}\Delta <0}$，則該函數與x軸相離（沒有交點）

一元二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$的根的幾何意義是二次函數$y=ax^{2}+bx+c$的圖像（為一條拋物線）與 $x$ 軸交點的坐標，即二次函數的零點。

$ax^{2}+bx+c=0$的解是$y=x^{2}$和$y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}$交點的X座標

另外一種解法是把一元二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$化為$x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$ 的形式。

則方程式$ax^{2}+bx+c=0$的根，就是函數$y=x^{2}$和$y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$交點的橫坐標。

通過作圖，可以得到一元二次方程式根的近似值。

計算機法

在使用計算機解一元二次方程式時，跟人手工計算相似，大部分情況下也是根據以下公式去解$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$$可以進行符號運算的程序，比如Mathematica，可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

參見

• 方程式
• 三次方程式
• 和平方
• 差平方
• 平變異數
• 配方法

外部連結

• 101 uses of a quadratic equation: Part I （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Part II （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）