一元二次方程

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一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如，$x^{2}-3x+2=2$，$\left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0$，$t^{2}-3=0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$

其中，$ax^{2}$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项。$a\neq 0$是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，$a\neq 0$也可以省略不写。另外，一元二次方程式有时会出现复数根。

历史

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代数方程式且容许同时有正负根的数学家。

11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言：解关于$x$的方程 $ax^{2}+bx=-c$

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即$4a$，得　$4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac$

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即$b^{2}$，得　$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}$

然后在方程的两边同时开二次方根，得　$2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}$

解法

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据$a$、$b$、$c$三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个根。

因式分解法

把一个关于 $x$ 一元二次方程变形成一般形式 $ax^{2}+bx+c=0$ 后，如果 $ax^{2}+bx+c=0$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$存在两个实根$x_{1},x_{2}$，那么它可以因式分解为$a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$。

例如，解一元二次方程$x^{2}-3x+2=0$时，可将原方程左边分解成$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$，所以$x-1=0\quad x-2=0$，可解得$x_{1}=1\quad x_{2}=2$

公式解法

对于$ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)$，若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0$，则它的两个不等实数根可以表示为

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$；

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0$，则它的两个相等实数根可以表示为

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}$；

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0$，则它的两个共轭复数根可以表示为

$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$。

公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0$

①移项，得：

$ax^{2}+bx=-c$；

②二次项系数化为 $1$，得：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$；

③配方，得：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}$，

${\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$；

因为 $a\neq 0$，所以

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0$，则它的两个不等实数根可以表示为

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$；

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0$，则它的两个相等实数根可以表示为

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}$；

若$\Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0$，则它的两个共轭复数根可以表示为

$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$。

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式${\sqrt {b^{2}-4ac}}$

应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为$b^{2}-4ac$的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。

根的判别式

对于实系数一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$，$\Delta =b^{2}-4ac$称作一元二次方程根的判别式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

• 如果$\Delta >0$，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且$\Delta$是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。

• 如果$\Delta =0$，则这个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$

• 如果$\Delta <0$，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为$x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}$，其中 ${\text{i}}={\sqrt {-1}}$。

非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

一元二次方程的根与系数的关系

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。$$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$$$$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$$

图像解法

${\color {Red}{}\Delta >0}$，则该函数与x轴相交（有两个交点）
${\color {Blue}{}\Delta =0}$，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
${\color {Green}{}\Delta <0}$，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的根的几何意义是二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像（为一条抛物线）与 $x$ 轴交点的坐标，即二次函数的零点。

$ax^{2}+bx+c=0$的解是$y=x^{2}$和$y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}$交点的X座标

另外一种解法是把一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$化为$x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$ 的形式。

则方程$ax^{2}+bx+c=0$的根，就是函数$y=x^{2}$和$y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}$交点的横坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$$可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

参见

• 方程
• 三次方程
• 和平方
• 差平方
• 平方差
• 配方法

外部链接

• 101 uses of a quadratic equation: Part I （页面存档备份，存于互联网档案馆），Part II （页面存档备份，存于互联网档案馆）