拓撲空間(英語:Topological space)是一種賦予「一點附近」這個概念的抽象數學結構;拓撲空間也是一個集合,其元素稱為點,由此可以定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用,是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值,研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。
定義動機
拓撲結構最實用的動機,在於怎麼去定義「一點的附近」,用以定義函數極限。
對於度量空間 內的任一點 ,可定義中心為 ,半徑為 的開球
-
然後把開球視為點 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的,那一般的「開放邊界區域」,應該是任取裡面的點 ,都會有一個夠小的開球 完全落在這個區域裡,也就是說,可以定義 的開子集 為滿足如下條件的子集合
-
這樣定義的開集有一些有趣的性質:
(1) 任二開集的交集也是開集
任取兩個 的開子集 ,若 ,根據定義存在 使得
-
-
這樣若取 ,則會有:
-
也就是說, 也是個開集。
(2) 任意個開集的聯集也會是開集
若 是一群開集所構成的集合,也就是說
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如果取
-
換句話說:
-
這樣的話,顯然有
-
所以 也會是一個開集。
以上的性質促使人們在不依託度量情況下,去定義一個描述「一點的附近」的結構,換句話說,去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合,任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。
正式定義
上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間,因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3};右下角的集合也不是個拓撲空間,因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。拓撲結構一詞涵蓋了開集系,閉集系,鄰域系,開核,閉包,導來集,濾子等若干概念。可以從這些概念出發,給出若干種等價結構,但大部分書籍都以開集系為準。
開集系
根據定義動機一節可以作如下的定義:
的子集族 若滿足以下開集公理
正式定義
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直觀解釋
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本身和空集合也是開的
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有限個開集的交集也是開的
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任意個開集的聯集也是開的
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則稱 為 的開集系(其中的元素稱為開集)或拓撲, 則被稱為一拓撲空間, 內的元素 則稱為拓撲空間 的點。
開集系的代號 是字母「O」的德文尖角體,取名自德語形容詞「offen」(開的)。
從開集系出發定義其它概念:( 為 的子集)
- 閉集:若 是開集,則稱 是閉集。
- 鄰域:若存在開集 使得 ,則稱 是點 的鄰域。
- 開核: 的開核(或內部) 定義為 內所有開集之並,也就是
閉集系
的子集族 若滿足如下閉集公理:
正式定義
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直觀解釋
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本身和空集合也是閉的
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有限個閉集的聯集是閉的
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任意個閉集的交集是閉的
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則稱 為 的閉集系(其中的元素稱為閉集)。
開集系的代號 是字母「 F」 的德文尖角體,取名自法語動詞「fermer」(關閉)的過去分詞「fermé」(封閉的)。
根據德摩根定理和量詞符號的意義,以下的子集族
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為開集系,類似地,對於開集系 ,以下的子集族
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為閉集系,所以閉集系跟拓撲是等價的結構。
從閉集系出發定義其它概念:( 為 的子集)
- 開集: 是閉集,則稱 是開集。
- 閉包: 的閉包 定義為包含A的所有閉集之交,也就是
鄰域系
函數 ( 指 的冪集的冪集,也就是由所有子集族所構成的集合)若對任意 滿足如下鄰域公理:
正式定義
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直觀解釋
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屬於 的任意元素( 裡的元素都是 的鄰域)
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的任二鄰域的交集也是 的鄰域
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包含任何 的鄰域的任意子集也是 的鄰域
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的每個鄰域內有個 的鄰域,使的大鄰域都是小鄰域裡面點的領域
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這樣任意 被稱為 的鄰域系, 裡的元素 則稱為 的鄰域。
換句話說,函數 將 的每個點 映射至 ,而 則是所有 的鄰域所構成的集族。
鄰域系的代號 是字母「 U」 的德文尖角體,取名自德語動詞「 umgeben」(環繞)的名詞化「Umgebung」(周圍、環境)。
若取以下的子集族
-
因為 包含任意鄰域, 本身顯然為任意 的領域,故 ;另外空集合 沒有任何屬於它的點,所以根據實質條件的意義, 。
若取 ,根據鄰域公理的第二項有 ;若取 ,且 ,那換句話說
-
這樣的話有
-
那這樣根據鄰域公理第三項, ,所以 的確是個開集合系。
類似地對於開集系 ,若對任意 取
-
那 也會符合上面四款鄰域系公理(注意到第四項取 ),所以對所有 定義了鄰域系等同於定義了一個拓撲。
從鄰域系出發定義其它概念:( 為 的子集)
- 開集:對任意 ,有 ,則稱 是開集。(開集本身是它所有點的鄰域)
- 開核: (開核裡的每一點,都有一個包含於 的領域。)
- 閉包: 。(閉包裡每一點的領域,都跟 有交集。)
閉包公理
的冪集 上的一元運算 (即將 的子集A映射為 的子集 )稱為閉包運算(像稱為原像的閉包)。若且唯若運算 滿足下述的閉包公理:
- A1: ;
- A2: ;
- A3: ;
- A4: 。
集合 的閉包通常記為 。
從閉包出發定義其它概念:
- 從閉包定義閉集: 的子集 是閉集,若且唯若 。
- 從閉包定義開核: 的子集 的開核 。
- 從閉包定義鄰域: 的子集 是點 的鄰域,若且唯若 。
開核公理
的冪集 上的一元運算 (即將 的子集A映射為 的子集 )稱為開核運算(像稱為原像的開核或內部)。若且唯若運算 滿足如下開核公理:
- I1: ;
- I2: ;
- I3: ;
- I4: 。
集合 的開核通常記為 。
(顯然,開核運算是閉包運算的對偶概念)。
從開核出發定義其它概念:
- 從開核定義開集: 的子集 是開集,若且唯若 。
- 從開核定義鄰域: 的子集 是點 的鄰域,若且唯若 。
- 從開核定義閉包: 的子集 的閉包 。
導來集公理
的冪集 上的一元運算 (即將 的子集 映射為 的子集 )稱為導來集運算(像稱為原像的導來集),若且唯若 滿足以下導來集公理:
- D1: ;
- D2: ;
- D3: ;
- D4:
從導來集出發定義其它概念:
- 從導來集定義閉集: 的子集 是閉集,若且唯若 。
拓撲之間的關係
同一個全集可以擁有不同的拓撲,有些是有用的,有些是平庸的,這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲 的每一個開集都是拓撲 的開集時,稱拓撲 比拓撲 更細,或稱拓撲 比拓撲 更粗。
僅依賴於特定開集的存在而成立的結論,在更細的拓撲上依然成立;類似的,僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論,在更粗的拓撲上也依然成立。
最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲,最細的拓撲是離散拓撲,這兩個拓撲都是平庸的。
在有些文獻中,我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。
連續映射與同胚
拓撲空間範疇
相關概念
拓撲空間的例子
- 實數集R構成一個拓撲空間:全體開區間構成其上的一組拓撲基,其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集R上的開集是一組開區間的並(開區間的數量可以是無窮多個,但進一步可以證明,所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並)。從許多方面來說,實數集都是最基本的拓撲空間,並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解;但是也存在許多「奇怪」的拓撲空間,它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
- 更一般的,n維歐幾里得空間Rn構成一個拓撲空間,其上的開集就由開球來生成。
- 任何度量空間都可構成一個拓撲空間,如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間,如泛函分析領域中的Banach空間和希爾伯特空間。
- 任何局部體都自然地擁有一個拓撲,並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。
- 除了由全體開區間生成的拓撲之外,實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲(lower limit topology)。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間[a, b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲;在這種拓撲空間中,一個點列收斂於一點,若且唯若,該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
- 流形都是一個拓撲空間。
- 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中,相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
- 每一個單體複形都是一個拓撲空間。一個單體複形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單體複形—來建立模型,參見多胞形(Polytope)。
- 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的拓撲,這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對Rn或者Cn來說,相應扎里斯基拓撲定義的閉集,就是由全體多項式方程式的解集合構成。
- 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
- 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲,在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂於零函數。
- 任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中,只有常數列或者網是收斂的。
- 任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中,任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們,在某些極端情況下,一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。
- 有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上空集,構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T1拓撲。
- 可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集,構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
- 如果Γ是一個序數,則集合[0, Γ]是一個拓撲空間,該拓撲可以由區間(a, b]生成,此處a和b是Γ的元素。
例子
- X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個密著拓撲。
- X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
- X = ℤ(整數集合)及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲,因為(例如)所有不包含零的有限集合的聯集是無限的,但不是 ℤ 的全部,因此不在 τ 內。
- 1個元素的集上總拓撲數顯然只有1個。
- 2個元素的集上總拓撲數顯然只有4個。
- 3個元素的集上總拓撲數只有29個。
- 4個元素的集上總拓撲數只有355個。
- n個元素的集上總拓撲數規律還在研究中,不過已取得些成果。參見OEIS-A000798說明
3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類,具體如下:
- {∅, X}
- {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
- {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
- {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
- {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}
拓撲空間的構造
- 拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲,子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
- 對任何非空的拓撲空間族,我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲,這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說,積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
- 商拓撲可以被如下地定義出來:若X是一個拓撲空間,Y是一個集合,如果f : X → Y是一個滿射,那麼Y獲得一個拓撲;該拓撲的開集可如此定義,一個集合是開的,若且唯若它的逆像也是開的。可以利用f自然投影確定下X上的等價類,從而給出拓撲空間X上的一個等價關係。
- Vietoris拓撲
拓撲空間的分類
依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。
以下假設X為一個拓撲空間。
分離公理
詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式,請參照分離公理的歷史。
- 拓撲不可區分性
- X中兩個點x,y稱為拓撲不可區分的,若且唯若如下結論之一成立:
- 對X中每個開集U,或者U同時包含x,y兩者,或者同時不包含它們。
- x的鄰域系和y的鄰域系相同。
- ,且 。
可數公理
- 可分的
- X稱為可分的,若且唯若它擁有一個可數的稠密子集。
- 第一可數
- X稱為第一可數的,若且唯若其任何一個點都有一個可數的局部基。
- 第二可數
- X稱為第二可數的,若且唯若其擁有一個可數的基。
連通性
- 連通
- X稱為連通的,若且唯若它不是兩個無交的非空開集的並。(或等價地,該空間的閉開集(既開又閉的集合)只有空集和全空間兩者)。
- 局部連通
- X稱為局部連通的,若且唯若它的每個點都存在一個特殊的局部基,這個局部基由連通集構成。
- 完全不連通
- X稱為完全不連通的,若且唯若不存在多於一個點的連通子集。
- 路徑連通
- X稱為路徑連通的,若且唯若其任意兩點x和y,存在從x到y的道路p,也即,存在一個連續映射p: [0,1] → X,滿足p(0)= x 且p(1)= y。路徑連通的空間總是連通的。
- 局部路徑連通
- X稱為局部路徑連通的,若且唯若其每個點都有一個特殊的局部基,這個局部基由路徑連通集構成。一個局部路徑連通空間是連通的,若且唯若它是路徑連通的。
- 單連通
- X稱為單連通的,若且唯若它是路徑連通且每個連續映射 都與常數映射同倫。
- 可縮
- X稱為可縮的,若且唯若它同倫等價到一點。
- 超連通
- X稱為超連通的,若且唯若任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。
- 極連通
- X稱為極連通的,若且唯若任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含路徑連通。
- 平庸的
- X稱為平庸的,若且唯若其開集只有本身與空集。
緊性
(詳細資料請參照緊集)
- 緊性
- X稱為緊的,若且唯若其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。
- 林德洛夫性質
- X稱為擁有林德洛夫性質,若且唯若其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。
- 仿緊
- X稱為仿緊的,若且唯若其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。
- 可數緊
- X稱為可數緊的,若且唯若其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。
- 列緊
- X稱為可數緊的,若且唯若其任意點列都包含收斂子列。
- 偽緊
- X稱為偽緊的,若且唯若其上的任意實值連續函數都有界。
可度量化
可度量性意味著可賦予空間一個度量,使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一個第二可數的正則郝斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。
擁有代數結構的拓撲空間
對於任一類代數結構,我們都可以考慮其上的拓撲結構,並要求相關的代數運算是連續映射。例如,一個拓撲群 乃是一個拓撲空間配上連續映射 (群乘法)及 (反元素),使之具備群結構。
同樣地,可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間,使得加法與純量乘法是連續映射,這是泛函分析的主題;我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。
結合拓撲與代數結構,往往可以引出相當豐富而實用的理論,例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中,人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論,並得到較簡明的陳述;如數論中的局部體(一種拓撲域),伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲(一種特別的拓撲群),以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲(一種拓撲環)等等。
擁有序結構的拓撲空間
拓撲空間也可能擁有自然的序結構,例子包括:
- 譜空間(spectral space)上的序結構。
- 特殊化預序:定義 。常見於計算機科學。
外部連結
參考書目
- John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
- James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
- 點集拓撲學初步 / 江澤涵著. - 上海: 上海科學技術出版社, 1979年1月。
- 點集拓撲學基礎 / 吳東興著. - 北京: 科學出版社, 1981年3月。
- 點集拓撲學原理 / 鮑姆著;蒲思立譯. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
- 一般拓撲學 / 李普舒茨著;陳昌平等譯. - 上海: 華東師大出版社, 1982年1月。
- 一般拓撲學 / 凱萊著;吳叢,吳讓泉譯. - 北京: 科學出版社, 1982年5月。
- 拓撲學引論 / 本特·門德爾森著;陳明蔚譯. - 南寧: 廣西人民出版社, 1983年1月。
- 基礎拓撲學 / 阿姆斯特朗著;孫以豐譯. - 北京: 北京大學出版社, 1983年1月。
- 點集拓撲學 / 方嘉琳編著. - 瀋陽: 遼寧人民出版社, 1983年4月。
- 拓撲學的基礎和方法 / 野口宏著;郭衛中,王家彥譯. - 北京: 科學出版社, 1986年3月。
- 拓撲學初步 / 蘇步青著. - 上海: 復旦大學出版社, 1986年4月。
- 拓撲學基礎教程 / 曼克勒斯著;羅嵩齡等譯. - 北京: 科學出版社, 1987年8月。
- 基礎拓撲學 / 何伯和,廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
- 一般拓撲學專題選講 / 蔣繼光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
- 拓撲學導論 / 鮑里索維奇等著;盛立人等譯. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
- 基礎拓撲學講義 / 尤承業編著. - 北京: 北京大學出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.